Coefficient binomial

2 3) X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,03 p(X=2) = × 0,032*0,97n-2 P( X ≥ 1) = 1- p(X=1) P( X = 2 ) = p ( X = n -2 ) 4) On possède une pièce truquée telle que la probabilité d'obtenir pile est égale à p = 0,6. On lance 20 fois cette pièce .On appelle X le nombre de piles obtenues et Y le nombre de faces obtenues . X suit une loi binomiale de paramètres n=20 et p =0,6 Y suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0.6 X peut prendre toutes

est égale à 0, 1. 1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a) On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité des événements suivants : A : « il n’y a aucun stylo avec un défaut » ; B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ; C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ». 2) En

comme des événements indépendants, on peut interpréter X comme une variable binomiale de paramètre n = 200 (nombre d'épreuves) de moyenne np = 0,8. Par suite p = 0,004. On est tout à fait dans le champ d'approximation de la loi de Poisson: n> 50, p ,,;:,0,1 np = 0,8 da. et • Le paramètre de cette loi sera A = np= 0,8 et : Tableaux comparatifs : La demière ligne indique les probabilités obtenues par la loi binomiale, très peu pratique ici eu égard au grand nombre d'observation (manipulation

Statistique Bayésienne • Considérons une loi Pareto de paramètres (α, a). f (x|θ, a) = θaθ 1 (x). xθ+1 [a,+∞[ Supposons a connu, f (x|θ) ∝ θeθ log(a/x) , on pourrait donc prendre une loi a priori de type gamma. • Dans le cas d’une loi binomiale négative de paramètre (n, p), x P (X = x | p ) = Cn+x−1 px (1 − p )n , 0 < p < 1, x ∈ N. On voit clairement qu’une loi naturelle conjuguée sera une loi bêta puisque : P (X = x | p ) ∝ px (1 − p )n . Etudions maintenant en détail le cas

 Loi binomiale Repartition Dénsité Loi normale densité Repartition Khi 2 Ces données ayant été réparties en classes, il faut : calculer algébriquement la distance entre les données observées et les données théoriques attendues. se donner a priori un risque d'erreur, celle consistant à rejeter l'hypothèse, alors qu'elle est vraie (la valeur 5 % est souvent choisie par défaut ; il s'agit plus souvent d'une coutume que du résultat d'une réflexion) ; déterminer

Correction BTS CGO Mathématiques Session 2010 EXERCICE 1 : (12 points) A. Loi binomiale 1° On a une série de 8 épreuves indépendantes, chacune de ces épreuve peut déboucher sur deux possibilités : ● un succès : " L'entreprise n'emploie aucun salarié" de probabilité = ● un échec : " L'entreprise emploie au moins un salarié" de probabilité donc suit la loi binomiale de paramètres 8 et 0,87. × 0,87 × 0,13 = 1 × 0,87 × 1 ≈ 0,328 2° =8 = La probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié

0,88x0,92=0,8096(soit=81%) . L’affirmation du directeur est fausse. 4) On répète trois fois une expérience aléatoire ayant deux issues : avec défauts (p(e)), sans défauts (p(s)) . P(s)=0,8096 et P(e)=0,1904 de façon indépendante suit une loi binomiale B(3 ;0,8096) P(X=3)=1x0,80963x1,19040=0,531. EXERCICE 3 : 1)c 2)b 3)b 4)a EXERCICE 4 : 1)a) b) B(x)=0 on résous alors 1+ln(x)=0 c'est-à-dire ln(x)=1 donc x=e-1=0,367 2)a) F’(x)= 5x(lnx+2) +5lnx(1x)= 5lnx+10+5lnxx=10+10lnxx=10(1+lnxx)=

Construction Une des mani`res de construire cette loi est de montrer que les lois binomiales convergent (en e probabilit´) vers cette loi. e Consid´rons un ´v´nement E qui se produit en moyenne λ fois sur un intervalle [1, n] de e e e temps. Pour n fix´ on s’int´resse a la variable al´atoire e e ` e Xn = nombre d’occurences de l’´v´nement E durant la p´riode [1, n] e e e On sait que Xn suit une loi binomiale B(n, λ/n) de param`tre λ/n puisque la probabilit´ e e que l’´v´nement E se produise `

STS MAI 2 2006/2007     Chapitre 2 : Probabilit´es Fiche 3 : Loi binomiale & Loi de Poisson 1 Loi binomiale 1.1 Introduction On consid`ere une exp´erience al´eatoire qui a deux issues possibles : r´eussite ou ´echec. On notera p la proba- bilit´e de r´eussite et q la probabilit´e d’´echec. On a alors p+q = 1. Une telle exp´erience est appel´ee ´epreuve de Bernoulli1. Exemple 1 : une ´epreuve consiste `a lancer un d´e. On gagne si l’on obtient un 6. On a donc p = . . . . . . et

indépendants, on applique la formule p ( A ∩ B ) = p ( B ) × p ( A ) . Comment déterminer la loi d’une variable aléatoire ? On tente de reconnaître une loi classique : loi de Bernoulli, loi binomiale… Sinon, on cherche les valeurs k que peuvent prendre la v.a., et on donne tous les P(X = k ). Comment reconnaît-on une loi binomiale ? on repère des mots clés dans l’énoncé, par exemple : « Y la variable aléatoire qui compte le nombre de .. » « on répète de manière identique et indépendante l’expérience… » si au