Coefficient binomial

variance sont égales respectivement à la somme des espérances et des variances. Loi binomiale On obtient une loi binomiale quand : on répète n fois une même expérience de Bernoulli ayant une probabilité de succès p, les expériences étant indépendantes entre elles On s’intéresse au nombre de succès k, On dit que X suit alors une loi binomiale de paramètres n et p. Caractéristiques de la distribution binomiale k P ( X = k ) = Cn p k q n − k = n! k !( n − k )! p k q n−k E ( X ) = np V (

est de loi : Evénement Probabilité Lance B 0,1 Lance pas B 0,9 On considère la variable aléatoire Y qui compte, parmi les n jeux successifs indépendants, le nombre de fois que le joueur a lancé la roue B. La variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres n et 0,1. On calcule déjà la probabilité qu’il ne lance jamais la roue B, c’est à dire p(Y = 0) : p(Y = 0) = n 0, 10 × 0, 9n = 0, 9n 0 La probabilité demandée est p(Y > 0) = 1 − p(Y = 0) = 1 − 0, 9n . b. Justifier que la suite de

…………………………………………..……….…....4 3.1. Principe du test…………………………………………..……………………………………………...4 3.2. Application et décision…………………………………………..…………………………….…..4 3.3. Ajustements à différentes lois de probabilité connues………………..….6 3.3.1. Ajustement à une loi binomiale …………..…………….…………………….6 3.3.2. Ajustement à une loi de poisson …………..………………………………...6 3.3.3. Ajustement à une loi normale …………..………………………………….….7 4. Test du χ2 d'égalité des distributions…………………………….………....8 4.1. Principe du test…………………………………………

de Bernoulli à réaliser pour obtenir un nombre fixé à l’avance de succès. Yk : « nombre d’épreuve de Bernoulli à réaliser pour obtenir k succès ». Yk(Ω)={k,k+1,…,k+n}, il n’y a aucun limite théorique. On va faire référence à la loi binomiale négative. B – Loi binomiale Tirage aléatoire de n individu, avec remise. On s’intéresse à X, le nombre d’individus ayant le caractère C1. Distribution de probabilité, espérance, variance : ( ( ) ( ) ) C – Loi géométrique On s’interroge sur le nombre d’ épreuve

représentation paramétrique Définir une courbe polaire Définir une famille de fonctions Définir un schéma Définir une droite Définir une courbe point par point Définir une série statistique simple Définir une série statistique double Définir une loi binomiale Définir une loi de Poisson Définir une loi normale Définir une suite numérique Définir une intégrale Définir une inéquation ou système d’inéquations à deux inconnues Tracer la courbe de la dérivée d’une fonction donnée Tracer la primitive d’une fonction

du gain Y. Probabilité de gagné trois euros = 1/6*1/6*1/6=1/216 Probalité de gagné deux euros = 3*1/6*1/6*5/6= 3*5/216 Probabilité de gagné 1 euros = 3*1/6*5/6*5/6 = 3*25/216 Probabilité de perdre 1 euros = 5/6*5/6*5/6= 125/216 X suit le loi binomiale B(3,1/6) Yi 3 2 1 -1 Pi 1/216 15/216 75/216 125/216 Espérance = somme des Yi*Pi = 3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)= -0,0787 E(X)=np=1/2. Variance = sommes des Pi Yi2 –E(Y) 2 = 9*1/216+4*15/216+1*75/216+(1)*125/216 - E(X)2=1

 Méthodologie pour comprendre la différence entre les lois COMMENT RECONNAITRE : Une Loi Normale ? Une Loi Binomiale ? Une loi de Poisson ? I. INTRODUCTION Voici un schéma qui résume bien la situation  Loi Binomiale (1) : « n » doit être petit n  30 « p » peut être petit ou grand 0 0,1 1

Correction exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 1) Le forage conduit à une nappe de pétrole avec une probabilité 0,1 ou pas avec une probabilité 0,9. C’est donc bien une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,1. Il a bien que deux issues possibles. 2) a. Les forages doivent être indépendants pour que  suive une loi binomiale. b.  ≥ 1 = 1 −  = 0 = 1 − 0,9! ≈ 0,613 Exercice 2 On considère que le tirage de 1000 résistances a lieu avec remise et

Distribution d’échantillonnage des fréquences Soit l’ensemble de tous les échantillons de taille n, issus de la population. Les fréquences f1, f2,.... fi,...constituent une série statistique appelé distribution des fréquences. Puisque K suit la loi binomiale B(n, p) nous savons que : E(K) = np et V(K) = npq où 1 np 1 npq pq q = 1 – p. alors E ( F ) = E ( K ) = = p et V ( F ) = V ( K ) = = . 2 n n n n2 n Le théorème de la limite centrée permet alors d’énoncer le résultat suivant, noté (P6):

proportion dans l'ensemble de la population, à une marge d'erreur près. Avec un taux de confiance de 95 %, un intervalle de fluctuation de la proportion peut être calculé. Il dépend de la taille de l'échantillon et de la fréquence. En Première, la loi binomiale permet de diminuer l'amplitude de cet intervalle et de faire varier le taux de confiance. L'échantillonnage est une aide à la prise de décision pour les entreprises, l'État ou les collectivités locales. 1. Qu'est-ce qu'un échantillon ? Échantillon