Coefficient binomial

échantillon n = 200 np0 ≥ 5 et n(1-p0) ≥ 5 Variable de décision : On utilise pour ce test la statistique F qui prend pour valeur la proportion des camemberts de l’échantillon pesant plus de 257 g. Sous l’hypothèse Ho, nF est distribuée selon la loi binomiale B( n ; p 0 ) . p ( 1− p0 ) E(nF) = np0 ; V(nF) = np0(1-p0) d’où E(F) = p0 ; V(nF) = 0 n Les conditions d’application rendent légitime l’approximation de B( n ; p 0 ) par la loi normale N(np0, np0 ( 1− p0 ) ). Sous l’hypothèse Ho, F est approximativement

Variables al´atoires . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Ind´pendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Notions de convergence de v.a . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lois discr`tes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´om´trique H(N, n, p) . . . . . e e 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ)

s’intéresse au nombre N de bonnes réponses qu’il obtient ainsi aux 100 questions. 1°) justifier que la loi de probabilité de N est la loi binomiale B(100 ; 0,45) 100 une m^exp a 2 issues Indep des res Constance de la proba de succeès N compte le nbre de succès 1 ………. ….. on admettra dans toute la suite de l’exercice, que la variable N suit la loi binomiale B(100 ; 0,45) 2°) Calculer la probabilité d’avoir 50 bonnes réponses parmi les 100. (donnez le détail du calcul) . P(N = 50) = ∁

Bernoulli On appelle v. de Bernoulli ou variable indicatrice. Notée B(1,p) E(X) = p ; V(X) = pq Loi Binomiale On appelle variable Binomiale une v.a X correspondant au nombre de succès de la répétition indépendante de n épreuves de Bernoulli : Loi de proba : Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n,p) E(X) = np et V(X)= npq Si X et Y sont 2 v.a indépendantes suivant les lois binomiales rspctvmt de paramètre X~B(n ,p) et Y~(m,p), alors Z = X+Y ~(n+m,p) Loi de poisson La loi de poisson est

trouver la plus grande valeur de n telle que P(Sn 150) 0,99. L’outil informatique : Dans Excel par exemple, la fonction LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; VRAI) donne la probabilité que le nombre de succès soit inférieur ou égal à k, pour une loi binomiale B(n , p) de paramètres n et p. Réponse : On peut réserver jusqu’à 158 places, avec une probabilité supérieure à 0,99 que se présentent au plus 150 passagers. Commentaire : La difficulté ne réside pas ici dans le calcul, mais dans la modélisation

réussies ou succès en 10 séances d'entraînement. Comme pour chaque séance ; la probabilité que la séance soit un succès est p = 0,61 et que les résultats des séances sont supposés indépendants les une des autres ; on voit alors que Y suit une loi Binomiale de paramètre ( n = 10 ; p = 0 ; 61). a: La probabilité que le joueur n'ait aucun échec lors des 10 séances est alors : k donc pour tout entier k, on a : p (Y = k) = C 10 × 0,61 k × 0,39 10 – k b: La probabilité d'avoir exactement 6 succès est : 6

Loi Uniforme Loi de Bernoulli ( ) Cadre Équiprobabilité. Cas particulier du tirage d’une boule parmi boules numérotées de à . Associe à chaque boule son numéro. Une épreuve de Bernoulli. Indicatrice du succès. Loi Binomiale ( ) Schéma de Bernoulli : répétition de épreuves de Bernoulli. Compte le nombre de succès obtenus au cours d’un schéma de Bernoulli. Loi Géométrique ( ) Schéma de Bernoulli : répétition de épreuves de Bernoulli dont

Variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notions de convergence de v.a . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lois discr`etes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´eom´etrique H(N, n, p) . . . . . 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ

2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition…………………………………………………………………………….…..6 2.3.2. Espérance et variance………………………………………………………..…8 2.3.3. Symétrie et récurrence de la loi binomiale……………………..8 2.3.4. Stabilité de la loi binomiale…………………………………………………9 2.4. Loi de Poisson………………………………………………………………………………………..9 2.4.1. Approximation d’une loi binomiale………………………………………9 2.4.2. Loi de Poisson……………………………………………………………………

28 29 30 7 résumé de cours 7.1 loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 approximation d’une loi binomiale par une loi normale 7.4 somme de deux lois normales indépendantes . . . . . 32 32 32 34 34 4 approximation d’une loi binomiale par 4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .