Coefficient binomial

MATHEMATIQUES Série S Formules :  n  n × (n − 1) × (n − 2) × ........................ × (n − p + 1)  = p! p n n!  = p  p! × (n − p)!  n Les nombres   s’appellent aussi les nombres binomiaux. p Ce nombre correspond à la touche nCr des calculatrices. ► À SAVOIR Propriétés des nombres binomiaux Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que p ≤ n : n •   est un entier ; p n  n  n •  =  ;   =1 p n − p 0 n ; =n 1 Formule de Pascal : pour

remarque que plus n est grand, plus l’approximation est précise. Question 3 : Pour comparer l’approximation de Bernstein et celle de Lagrange, on a choisi arbitrairement de prendre un degré n=21. Dans un premier temps, on calcule les coefficients de Lagrange pour un degré 21. Code Scilab : x=[0:0.05:1]; y=f(x); n=length(x); for i=1:n l(i)=1; for j=1:n if ji l(i)=l(i)*(x(i)-x(j)); end end a(i)=y(i)/l(i); end Afin de les comparer

indépendantes. Remarque : On représente en général un schéma de Bernoulli par un arbre. II) Loi binomiale 1) Définition, espérance et variance Définition 3 : On considère un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, de même paramètre p. Soit X la variable aléatoire qui associe à cette répétition d'épreuves le nombre de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On la note souvent � �(n ; p) . Exemple : On lance 4 fois de suite

Loi binomiale : révisions Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues contraires : l’une appelée SUCCES (de probabilité p) est notée S, l’autre appelée ECHEC (de probabilité q = 1 − p) est notée S . Exemple : Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme SUCCES le fait de tirer une boule rouge. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule

LOI BINOMIALES ET APPLICATIONS I) EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI 1) Epreuve de Bernoulli DEFINITION : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelé succès ( ? ), l’autre échec ( ?̅ ). EXEMPLES : • On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l’issue « pile » et échec l’issue « face ». • On lance un dé. On peut décider d’appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5. 2) Loi de Bernoulli

Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. 2) On effectue 9 forages. a. Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire correspondant au nombre de forages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale ? b. Sous cette hypothèse, calculer

X est (X) = V (X) pi x i E(X))2 E(X))2 + ... + pn (xn 3 - Coefficients binomiaux : Soit n et k deux entiers naturels avec k  n Définition : Étant donné une expérience à deux issues, le✓ ◆ nombre de chemins comportant k succès lors d’une n répétition de n de ces expériences est égal à k Propriété : ✓ ◆ ✓ ◆ n n = k n k Formule de Pascal : ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ n n n+1 + = Si k < n , alors k k+1 k+1 4 - Loi binomiale : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui admet

d’anciens élèves est suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante. Calculer la probabilité pour qu’au moins un des anciens élèves vive en colocation. On arrondira le résultat à 10–2 près. Schéma de Bernoulli. Loi binomiale. Ici il faut faire un (grand) effort de rédaction : 1ère étape : On interroge un élève au hasard et on appelle « Succès » l'événement S = « l'élève fait le choix de vivre en colocation ». P(S) = P(C) = 0,33. C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre

assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 pièces, associe le nombre de pièces conformes parmi ces 10 pièces. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 8 pièces au moins soient conformes. Partie B Une partie des pièces de la production de l’entreprise est fabriquée par une machine automatique notée «

tondeuse soit conforme. Partie B : Loi binomiale On admet que chaque tondeuse qui sort des usines a une probabilité de 7 % d’être non conforme. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de tondeuses conformes dans un lot de 250 tondeuses prises au hasard dans le stock. On admet que le nombre de tondeuses fabriquées est suffisamment grand pour assimiler ce tirage à un tirage avec remise. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres