Coefficient binomial

suit la loi binomiale est la variable aléatoire correspondant à la fréquence du caractère dans l’échantillon. La loi de se déduit de celle de . Propriétés de la variable aléatoire fréquence Pour tout entier compris entre et , L’espérance de est égale à et l’écart-type de est égal à Preuve On utilise les propriétés de l’espérance et de la variance : . Or, Donc suit la loi binomiale dont l’espérance est . . . La variance de la loi binomiale Donc est

gagner € en moyenne par partie. 2. Loi binomiale : Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues et deux seulement, appelée succès de probabilité et échec de probabilité . Lors de la répétition de épreuves de Bernoulli, de façon identique et indépendante, on définit la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès lors des épreuves. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres et . notée ( . La probabilité

Les résultats sont repris dans le tableau ci-contre. Ajustez une loi binomiale à ces données et évaluez l’ajustement. (Il n’est pas précisé que les pièces sont « bien équilibrées ») RESOLUTION : « pas précisé »  il faut estimer le paramètre p de la loi binomiale On sait que Calculons : Donc 506 car On jette 120 fois 5 dés bien équilibrés et on note le nombre d’apparition de « 1 » et de « 2 ». Ajuster une loi binomiale au résultat et évaluer l’ajustement RESOLUTION : 0 1 2 3 4 5 17 42 38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Calcul du coefficient de corrélation affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Calcul de la droite de régression de y en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 50 51 51 52 53 55 56 56 57 58 58 60 LOIS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES A. Loi binomiale b(n;p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 49 49 52 54 56 57 58 59 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 67 67 69 70 71 77 80 83 84 87 6 • Lois de probabilité continues 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Généralités Loi

fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6 • Lois de probabilité continues 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Généralités Loi uniforme Loi exponentielle Loi gamma

on aura Donc K=1.866 Ainsi on a On trouve finalement Pour une période de retour centenaire on a : K Donc on a Exercice 2 : M : moyenne des logarithmes des débits M=2.95 S : écart type des logarithmes des débits S=0.25 Coefficient d’asymétrie Calculons les débits de retour des périodes 20, 50 et 100 ans avec la loi log-normale On utilise la relation suivante : On a Pour une période de retour de 20 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=1.645 donc /s Pour une

simplement le nombre de Pile sur les n lancers et on a X ∼ B(n, p). Proposition 2.9 (Moments d’une loi binomiale) Si X suit une loi binomiale de paramètres (n, p), alors : E[X] = np & Var(X) = np(1 − p) = npq. Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9). Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous les cas et la variance l’est

5 Variante et l’écart-type 5 AJUSTEMENT ANALYTIQUE 6 I 1 ére Methode de Mayer 6 2éme Methode :Les moindres carrés 7 Corrélation Linéaire 7 LES PROBABILITES 9 I Notion de variable Aléatoire 9 II Lois de Probabilités 10 A Loi Binomiale 10 B Loi Normale ou loi de Laplace-Gauss 11 Terminologie statistique Serie statistique = ensemble de données Unités statistiques = element constituant la serie statistique Variable = une caractéristique des unités CA en k€ | NB de

Corrélation Linéaire : Coefficient de corrélation linéaire : ρ= Cov(XY) / σ(X)* σ (Y) Si X et Y indep. Alors Cov(XY)=0 et ρ=0 Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(XY) ; réciproque fausse. Espérance conditionnelle : EY=yi(X) = ∑ xi*PY=yi(X=xi) Variance conditionnelle : VarY=yi(X) = E((Y=yi(X))2) – (EY=yi(X))2 3) Loi de Bernoulli : X~B(1 ; p) , X suit la loi de Bernoulli avec p, probabilité de réussite et q la probabilité d’échec (q=1-p). E(X)=p Var(X)=p*q Loi binomiale : Répétition d’une même