Coefficient binomial

BTS — groupement C Correction ´preuve Math´matiques e e Session 2006 Exercice 1 (10 points) Partie A. Soit l’´quation : (E) y − 4y + 3y = −3x − 2 e 1. L’´quation (E) est une ´quation du second ordre ` coefficients constants. e e a Les solutions de l’´quation sans second membre (E0 ) y − 4y + 3y = 0 e s’obtiennent en r´solvant l’´quaton caract´ristique : r2 − 4r + 3 = 0. e e e Celle ci poss`de deux solutions : r1 = 1 et r2 = 3. e Les solutions de l’´quation (E0 ) sont donc les fonctions d´finies

notée : B(p). Théorème 3.1 (Espérance) Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli B(p). On a : E(X) = p. Théorème 3.2 (Variance) Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli B(p). On a : V (X) = p(1 − p). 4 Loi binomiale Définition 4.1 (Schéma de Bernoulli) On considère une épreuve de Bernoulli. On effectue, dans les mêmes conditions, n fois de suite cette épreuve (n ∈ N {0}). Les n répétitions de l’épreuve sont indépendantes les unes des autres. À quoi ressemble

ln e4 + 19 ≈ 1, 03 à 10−2 près. e2 + 19 Cela correspond à la taille moyenne du plant de maïs entre le 50ème et le 100ème jour. 4. Le nombre dérivé f (a) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. On cherche donc graphiquement le point de la courbe qui a une tangente de coefficient directeur maximal. Une valeur approchée de a est alors 73, la hauteur du plant est donc de f (73) ≈ 0, 99 m à 10−2 près. www.math93.com 1/5 Correction - Bac S - Pondichéry

discrètes : Loi uniforme : P(X=x) = 1/(b-a+1) E(X) = (a+b)/2 Var(X) = [(b-a)*(b-a+2)/12] Loi de Bernoulli : P(X=x) = p si x = 1 P(X=x) = q si x = 0 (q = 1-p) E(X) = p Var(X) = pq Loi binomiale : n répétions indépendantes : P(X=x) = Cnx*px*(1-p)n-x avec Cnx = n !/(x !(n-x) !) E(X) = np Var(X) = npq X≅b(n,p) X suit une loi binomiale de paramètre n et de probabilité p (proba du succès) Loi géométrique : répétitions indépendantes : P(X=x) = q(x-1)p E(X) = 1/p Var(X) = q/p2 X≅G(p) - x Loi de Poisson : P(X=x)

d’article). Ronéo n°1 – Cours n°1 UE11 1 sur 10 Sommaire I Rappels A) B) C) D) Variables aléatoires Médianes et quantiles Quelques lois Statistiques inférentielles et estimations II Modélisation linéaire A) Corrélation 1) Le coefficient de Pearson 2) Le coefficient de Spearman B) Régression linéaire III Régression logistique IV Modèle multiple A) Modèle linéaire multiple B) Modèle logistique multiple V Bonus sur les tests Ronéo n°1 – Cours n°1 UE11 2 sur 10 I. Rappels A. Variables aléatoires

cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. 3. Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides. Partie C À des fins publicitaires, le grossiste

. . . . . . . e e 7.2.2 Esp´rance et matrice de covariance d’un vecteur al´atoire e e 7.3 Convergences et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Quelques r´sultats sur quelques lois de probabilit´ usuelles . . . e e 7.4.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Loi g´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 7.4.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . .

.............•.•..... 2.2.3 Loi binomiale 93(n ; p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Loi de Poisson rJ'l(X-) •••••••••••••••.•.••••••••••••••••.•.••• 2.2.5 Loi hypergéométrique 'dC(N, Il, p) ou du tirage exhaustif. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5.1 Espérance de l'hypergéométrique ........................... 2.2.5.2 Variance de l'hypergéométrique ............................ 2.2.5.3 Tendance vers la loi binomiale ............................. 2

. . . . . . . . . . e 3.4.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . Lois discr`tes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . e 3.5.1 Loi uniforme sur {1, . . . , n} . . . . . . . . 3.5.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 3.6 Les lois usuelles au programme . . . . . . . . . . 3.6.1 Le cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 La loi uniforme discr`te . . . . . . . . . . e 3.6.3 La loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 3.6.4 La loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5 Le cas d´nombrable . . . . . . . . . . . . e 3.6.6 La loi g´om´trique de param`tre p ∈]0, 1[ e e e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .