Coefficient binomial

Tennis Equitation Voile Anglais 45 18 27 Allemand 33 9 18 1) Les événements « étudier l’allemand » et « pratiquer le tennis » sont-ils indépendants ? 2) Les événements « étudier l’anglais » et « pratiquer la voile » sont-ils indépendants ? Loi Binomiale Exercice n°17. Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES se répartissent en 2003 selon les trois enseignements de spécialité : mathématiques, sciences économiques et sociales et langue vivante. Nous savons de plus que : 37%

itinéraire emprunté par notre voyageur pendant les jours suivants et qui lui prend : 46 ; 21 ; 24 ; 38 ; 44 ; 22 ; 37 ; 20 ; 25 ; 23 minutes. Exercice 2 A chaque balade qu’il effectue, un cavalier a une probabilité p d’être désarçonné. Loi binomiale 1. Quelle est la probabilité que le cavalier ait chuté k fois au terme de n balades ? On suppose que les différentes promenades sont indépendantes les unes des autres. 2. Quelle est la loi du nombre de chutes en n balades ? 3. Donner l’espérance

. 2 Le zoo des lois de probabilit´ e 2.1 Lois de probabilit´ discr`tes . . . . . . . . . . . . e e 2.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . e e 2.1.4 Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares e e 2.1.5 Loi binomiale n´gative . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quelques lois de probabilit´ continues . . . . . . . e 2.2.1 Quelques d´finitions

. . . . . . . 2.2.6 L’´ecart m´edian absolu . . . . . . . . . . . . 2.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Param`etres de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Coefficient d’asym´etrie de Fisher (skewness) 2.4.2 Coefficient d’asym´etrie de Yule . . . . . . . 2.4.3 Coefficient d’asym´etrie de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=e −i π 6 . c. Nous avons zB = e = cos − 5π 6 + i sin − 5π 6 =− −i 3 i 3 i − . − et zC = e 6 = 2 2 2 2 π d. Voir figure ci-dessous. 2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2, −1 et 2. a. L’affixe du barycentre est donnée par az + bz B + czC zD = A = a+b+c 2( i )− − 3 i − +2 2 2 3 3 i − 2 2 = 3 3 3i π + 2 2 = 3 + i = ei 6 . 3 2 2 b. A l’aide du dessin, il semble que le centre du cercle en question soit O. On vérifie

. . . . . . . . . . . . . 2.2.6 L’´ecart m´edian absolu . . . . . . . . . . . . Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Param`etres de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Coefficient d’asym´etrie de Fisher (skewness) 2.4.2 Coefficient d’asym´etrie de Yule . . . . . . . 2.4.3 Coefficient d’asym´etrie de Pearson . . . . . Param`etre d’aplatissement (kurtosis) . . . . . . . . Changement d’origine et d’unit´e . . . . . . . . . . Moyennes et variances dans des groupes . . . . . . Diagramme

LOI DE POISSON Nous allons présenter la loi de Poisson comme un cas limite de la distribution binomiale pour justifier son utilisation très fréquente dans les phénomènes d’attente. Supposons que nous étudions l’arrivée de signaux sur un intervalle [0,T]. Il est raisonnable de supposer que la probabilité qu’un signal arrive durant un intervalle de durée t est proportionnelle à t, le coefficient de proportionnalité dépendant du système émetteur de ces signaux. Si t est suffisamment petit

il ne répond pas correctement à la question avec la probabilité 1 − p = 0, 3). On répète n = 10 fois, de manière indépendante, une telle épreuve de même paramètre p = 0, 7, alors la variable aléatoire X égale au nombre de « succès » suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0, 7, c’est-à-dire pour tout k ∈ 0; 1; 2; . . . ; 10 , P ({X = k}) = 10k × 0, 7k × 0, 310−k b. P ({X P ({X 9}) = P ({X = 9}) + P ({X = 10}) 9}) = 109 × 0, 79 × 0, 3 + 1010 × 0, 710 = . . . P ({X 9}) ≈ 0, 15 à 10−2 près 2 Exercice

. . . . . e e 11.2.2 Esp´rance et matrice de covariance d’un vecteur al´atoire e e 11.3 Convergences et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Quelques r´sultats sur quelques lois de probabilit´ usuelles . . . e e 11.4.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Loi g´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 11.4.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 2.2.6 L’´ecart m´edian absolu . . . . . . . . . . . . Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Param`etres de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Coefficient d’asym´etrie de Fisher (skewness) 2.4.2 Coefficient d’asym´etrie de Yule . . . . . . . 2.4.3 Coefficient d’asym´etrie de Pearson . . . . . Param`etre d’aplatissement (kurtosis) . . . . . . . . Changement d’origine et d’unit´e . . . . . . . . . . Moyennes et variances dans des groupes . . . . . . Diagramme