Continuité territoriale

pourrait employer le n n 1 1 . théorème de la double limite en −1 et cela entraînerait la convergence absurde de la série n n 1 (b) En tant que somme d’une série entière de rayon de convergence 1, S est continue sur ]−1, 1[ . (*) Pour étudier la continuité en 1, on peut se placer sur [0, 1] . ∀ x ∈ [0, 1], la série numérique un (x) satisfait le critère spécial des séries alternées ce qui permet de n 1 majorer son reste. +∞ On a, ∀ x ∈ [0, 1], uk (x) |un+1 (x)| = k=n+1 xn+1 n+1 1 . (majoration

MP 4 heures Calculatrices autorisées 2014 Mathématiques 1 L’objet de ce problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices. Dans tout le problème, on fixe un entier ? ∈ ℕ∗ et on note ℳ? (ℝ) (respectivement ℳ? (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille ? × ?. Si ? et ? sont deux entiers entre 1 et ?, on note ??,? le coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace

λ, ou f (x) > λ. 4.3.2 Opérations sur les fonctions numériques Soit f une fonction à valeurs réelles, définie sur une partie D de R (son domaine de définition). L’ensemble D consiste le plus souvent en une réunion d’intervalles. L’étude de f (continuité, monotonie, extrémums, etc.) s’effectue cependant intervalle par intervalle. C’est pourquoi on se limitera souvent à des fonctions réelles, définies sur un intervalle I de R (évidemment l’intervalle I ne doit être ni vide, ni réduit à un point)

I. Taux d'accroissement Activité 1 : Un point mobile M se déplace sur un axe. La distance parcourue par ce point à l'instant t est donnée par d (t)=t 2 . L'origine est t 0=0 . a) Calculer la vitesse moyenne du point M entre les instants 1 et 2 ; 2 et 3 ; 2 et 2,1 ; 1,9 et 2. b) Comment pourrait-on définir une vitesse instantanée à l'instant t=2 ? Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h des réels de I, h≠0 . f (a+ h)− f (a) Le taux d'accroissement de f ente a et a+h

π ] 2 Exemple Les inégalités 0 ≤ montrent que sin2 t sin2 t t2 t2 ≤ 1 t2 , avec les résultats vus sur les intégrales de Riemann, a une intégrale convergente sur [1 , +&[ ; il en est de même sur [0 , +&[ après avoir prolongé sin2 t par continuité en 0. t2 Corollaire Soient f et g deux fonctions positives, définies sur I = [a , b[ (resp. I = ]a , b] ) , localement intégrables sur I et telles que f(t) õ g(t) (t @ b-) (resp. t @ a+) . La fonction f a une intégrale convergente sur I si et

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES C ORRECTION DU BAC BLANC FÉVRIER 2009 Exercice 1 C ANDIDATS N ’ AYANT PAS SUIVI L’ ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 5 points On considère la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ex − ln x → − → − et sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  . 1. a. Étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = xex − 1. g ′ (x) = e x (1 + x). e x > 0 donc g ′ (x) est du signe de x + 1 sur [0; +∞[, soit strictement positif

droite, limite à gauche 24 Exemples 25 Passage à la limite dans les inégalités 26 Continuité d’une fonction Continuité en un point 27 y y O x0 O f est continue en x0 x O x0 f est discontinue en x0 Question : Repérer f (x0) dans le graphisme à gauche. x Définition mathématique 28 Continuité globale 29 Cas extrême de discontinuité 30 “Stabilité” de la continuité … 31 Prolongement par continuité d’une fonction en un point 32 Exemples 33 Dérivabilité Dérivabilité en un point

n’est pas une borne de Ι, alors f '(a) = 0. 2 25/09/2014 Attention! • La condition nécessaire n’est pas suffisante. • La fonction x ⟼ x3 est un contre exemple. • En effet, sa dérivée s’annule en 0 mais elle ne présente pas d’extremum. Notion de continuité sur un intervalle •Soit f une fonction définie sur un intervalle Ι. Dire que f est continue sur Ι signifie que l’on peut tracer sa courbe sur Ι sans lever le crayon. •Propriété : Une fonction dérivable sur un intervalle Ι est continue sur Ι. Attention

Correction du N° 63 p 71 1. La courbe a pour équation, ? = ?? ! + ?? ! + ?? + ?, elle représente donc la fonction définie par ?(?) = ?? ! + ?? ! + ?? + ?. Il faut déterminer a, b, c et d pour connaître cette fonction. On peut donc prévoir que le texte donnera 4 renseignements. Premier renseignement et deuxième renseignement: La courbe est tangente à la droite d’équation y = -1 au point A d’abscisse 0, cette droite est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est 0 et le point A est

> Calcul intégral Séquence 3 – MA09 113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités .........................