Continuité territoriale

PRIMITIVES. 1. Définition de primitives et conséquences. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x)

. . . . . . . . . e 1.4.4 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.1 Continuit´ en un point . . . . . . . . . . . . . e 1.5.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.5.3 Continuit´ globale . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.4 Hom´omorphismes . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.5 Uniforme continuit´ et Lipschitz continuit´ . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Terminale S 3 F. Laroche Concours Fesic Correction mai 2006 Exercice 7 a. Vrai : 1 ( ) 1 ( ) ( ) cos sin sin cos cos 2 2 x x x f x e x x e x x e x ¢ = - - - - - - = - b. Vrai : ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 '( ) 1 cos 1 cos 2 2 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 n n n n n n n n n n f x dx f n f n e n e n e e e e p p p p p p p p p p p p p p + - - - - - + - - - = + - = - + + - = - - + - = + ∫ c. Faux : on vérifie aisément que f est une solution ; par contre

I.2.1 I.2.2 I.2.3 I.2.4 Continuité, différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule des accroissements finis,formule de Taylor Dérivées partielles des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 27 29 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 23 section suivant I.2.1 Continuité, différentiabilité Documents

croissante puisque si x < y , FX (y) = FX (x) + µX (]x, y]) ≥ FX (x). limn→+∞ ] − ∞, −n] = ∩n∈N ] − ∞, −n] = ∅ comme limite d'une suite décroissante d'ensembles et limn→+∞ ] − ∞, n] = ∩n∈N ] − ∞, n] = R comme limite d'une suite croissante d'ensembles Par continuité de l'application probabilité, on a limn→−∞ FX (n) = P(∅) = 0 et limn→∞ FX (n) = P(R) = 1. 2. FX est continue à droite car limn→∞ ] − ∞, x + 1/n] = ∩n∈dN ] − ∞, x + 1/n] =] − ∞, x]. De plus, limn→∞ ] − ∞, x − 1/n] = ∩n∈dN ] − ∞, x − 1/n] =] − ∞,

Chapitre 2 : Int´egration num´erique I. Motivation : calcul approch´e d’int´egrales Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 M´ethodes des rectangles Approximation par une fonction constante par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5

Chapitre 1 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1 Définitions et notations Tout n-uplet de réels (x1, x2, ..., xn) correspond dans l’espace à n dimensions noté Rn : * à un point X (x1, x2, ..., xn) * à un vecteur colonne X =
 x1 x2 ... xn   Une fonction numérique f de n variables réelles est une application d’un ensemble Df inclus dans Rn dans R . Elle fait correspondre à tout n-uplet de réels X= (x1, x2, ..., xn) une image réelle y = f(X) = f(x1, x2, ..., xn) 1.1 Exemple

INTÉGRALES IMPROPRES Prérequis : Fonctions numériques - Développements limités - Calcul intégral - Théorème de la limite monotone 1 Généralités Dans ce paragraphe K désigne R ou C. 1.1 Définition : Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ {+∞}. Soit f : [a, b[→ K une fonction continue x par morceaux. On pose F (x) = a b f (t) dt pour tout x ∈ [a, b[. On dit que f admet une intégrale impropre si F (x) admet une limite quand x → b par valeurs inférieurs. On note alors a f (t) dt cette limite

■ Exercice 3 (7 points) Commun à tous les candidats PA RT I E A La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t. f est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différentielle : 1 f ′ ( t ) + -- f ( t ) = 10 . 2 www.annabac.com © H A T I E R 2009 La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps t en heures. m 1. Déterminer f ( t ) pour t 0 , sachant que pour t = 0 , la température de l’objet est

Soit a et b dans ]O ;+∞[ avec alneA⟹lnx>A donc limx→+∞lnx=+∞ En 0 : on pose X=1x donc limx→0x>0X=+∞ donc limX→+∞lnX=+∞d’où limx⟶0x>0lnX=+∞ (par composée) donc limx⟶0x>0-lnX=-∞ or lnx=-ln1X=-lnX donc limx⟶0x>0lnx=0 « dérivabilité de lnx » La continuité est admise. On mq lnx est dérivable et que ln'x=1x Soit aЄℝ+ et a+h Є ]0 ;+∞[ ; Ta de ln entre a et a+h ⟶ Ta(h)=lna+h-lnah il suffit de montrer que limh→0Ta=1h On pose b=lna et k=ln(a+h), quand h→0 (a+h) tend vers a donc k tend vers b (car ln