Contrat Aléatoire

avorables a A ` 0 issues possibles nombres d ¯ La probabilité de l’évènement contraire de A est p(A) = 1 p(A) La probabilité de l’évènement A [ B est p(A [ B) = p(A) + p(B) p(A \ B) 2 - Loi de probabilité d’une variable aléatoire et paramètres : Si X est une variable aléatoire prenant n valeurs x1 , x2 , x3 , ..., xn , alors la loi de probabilité de X est donné par le tableau : V aleur xi de X P robabilite pi = p(X = xi ) x1 p1 x2 p2 x3 p3 ... ... xn pn i=n X i=1 L’espérance de X est E(X)

CHAPITRE 4 – CONDITIONNEMENT Variables aléatoires discrètes - Probabilité conditionnelle – Arbre pondéré et calculs de probabilités . I – Variables aléatoires discrètes 1. Loi de probabilité d’une variable aléatoire : Définition : Ω est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire sur E, c’est associer un réel à chaque issue. Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.  On gagne 5€ chaque fois que l’on obtient Pile  On

ou ? ?+1 = −5000$). Dans ce cas, inutile de prévoir ? ?+1 • Cas 2 : ? est une variable indicatrice (variable de trend, variable saisonnière ou autre). Dans ce cas, la valeur de ? ?+1 est parfaitement déterminée • Cas 3 : ? est une variable aléatoire non définie par un scénario. Dans ce cas, il faut la prévoir avec un modèle spécifique. Méthode générale : prendre un modèle simple et sans exogène : Modèle de lissage, Modèle ARIMA, etc.). 7 Remarques introductives La procédure fondamentale

∩R3 )=0,967 . 2. Si un ordinateur qui est vendu sans extension de garantie tombe en panne, le coût moyen de réparation est de : 150 € si la panne a lieu la deuxième année ; 200 € si la panne a lieu la troisième année. On note X la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie , associe le coût moyen de réparation (en €) pour l'acheteur au cours des trois premières années. a) Quelles sont les quatre valeurs prises par la variable X ? b) Justifier que p(X=150)=0

EXERCICES CORRIGÉS SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES Exercice 1 Variables aléatoires et arbres Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablette, il décide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner exactement une place de cinéma et 40% exactement deux places de cinéma. On note PB(A) la probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé

choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3

d’un système de communication ENSI 2013 Transmission numérique, Introduction 4 Chapitre 1 Processus aléatoire Plan  Processus aléatoire  Processus stationnaire  Fonctions de corrélation et de covariance  Processus ergodique  Densité spectrale de puissance  Processus Gaussian  Bruit ENSI 2013 Processus aléatoire 6 Introduction  Dans le domaine de l’ingénierie il est notoire d’utiliser les modèles mathématiques pour

variable 1 aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres p = et n = 20. 3 b. On a donc : p(X = 5) = 20 1 × 3 5 5 × 1− 1 3 20−5 = 15504 × 215 ≈ 0,1457. 320 A. P. M. E. P. Baccalauréat S c. La moyenne pour les 20 personnes d’aller au 2e étage est égale à l’espérance mathématique de la variable aléatoire X , soit : E(X ) = n × p = 1 20 20 × = ≈ 7. 3 3 Un peu moins de 7 personnes sur 20 vont au 2e étage. 1 4. On reprend la variable aléatoire suivant la

deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5

unités à partir de laquelle se fera la sélection. Il existe deux types de bases de sondage : les nomenclatures et les bases aléatoires. -Une nomenclature est une liste de noms et d'adresses qui donnent directement accès à des « unités » (comme une liste d'hôpitaux, une liste de restaurants et une liste d'étudiants d'une université). -Les bases aléatoires sont des listes de régions géographiques qui donnent indirectement accès à des unités (comme les quartiers d'une localité). On appelle