Contrat Aléatoire

Loi binomiale : révisions Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues contraires : l’une appelée SUCCES (de probabilité p) est notée S, l’autre appelée ECHEC (de probabilité q = 1 − p) est notée S . Exemple : Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme SUCCES le fait de tirer une boule rouge. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule

assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 ponceuses . On considère la variable aléatoire X qui , à tout prélèvement ainsi défini , associe le nombre de ponceuses défectueuses de ce prélèvement . Partie A : Dans cette partie , les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2 . 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres . 2. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait

celle-ci dans différents actifs risqués a = 1, ..., A. Chaque actif est défini par son prix qa (fixé à la période 0), par son revenu futur. Celui-ci e est généralement incertain et donc représenté par une variable aléatoire Va . Le prix et le e revenu alétoire définissent donc le rendement aléatoire du titre Ra : e Va e Ra = qa (1) Le rendement espéré et la variance de l’actif a sont notés Ra et σ 2 . Si un actif certain a était présent, son indice serait 0. Chaque agent doit déterminer la part xi de

reChapitre VI Génération de valeurs pseudo-aléatoires D. Knuth, " The Art of Computer Programming ", Vol. 2, Chap. 3 : "Random Numbers", pp. 1-177, 1981. A. M. Law & W. D. Kelton, " Simulation Modeling & Analysis", McGraw-Hill, 1991. (Chap. 7-8). S. V. Hoover, R. F. Perry, " Simulation A problem-Solving Approach ", Addison-Wesley, 1989. (Chap. 7). Pourquoi générer des nombres « au hasard »? Théorie de l'échantillonnage Analyse numérique (approche de Monte-Carlo) Algorithmes probabilistes (Sherwood

ces jouets, l’entreprise effectue des contrôles, 0,6 % des jouets sont déclarés défectueux. On considère un lot de n jouets contrôlés et parmi ceux-ci, on appelle X n le nombre de jouets déclarés défectueux. 1/ Quelle est la loi de la variable aléatoire X n ? (On justifiera avec soin le résultat.) Donner l’expression de cette loi. 2/ Pour n 500 : TD6 : Loi de probabilité - - - Par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable X n ? (justifier) Donner l’expression de cette loi. En

TS1 Contrôle du jeudi 17 janvier 2013 (50 minutes) V. (1 point) Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (, P) qui suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,42. Pour quelle valeur de l’entier naturel k la probabilité P (X = k) est-elle maximale ? Répondre sans justifier ni faire de phrase. Prénom et nom : .…………………………………………………. Note : …… /20 VI. (5 points) ………………………. I. (2 points) Déterminer les dérivées des fonctions f et g définies respectivement

Probabilité Contrôle Continu n°1 Corrigé Exercice 1 Soit X une variable aléatoire discrète de loi de probabilité; xi 1 2 3 4 5 6 P(X=xi) 0,10 0,20 0,10 0,30 0,10 0,20 1) Calculer l'espérance et la variance de X. Réponse : Pour p=0.25 on a : xi 4 ?(?) = � ? ? ? ? 1 2 3 4 P(X=xi) 0.25 0.25 0.25 0.25 ?=1 ?(?) = 1 × 0.25 + 2 × 0.25 + 3 × 0.25 + 4 × 0.25 ???? ?(?) = ?. ? 6 ???(?) = � ? ? [? ? − ?(?)]2 ?=1

suppose que le nombre de bouteilles de lait est suffisamment grand pour assimiler cet expérience à un tirage avec remise. On note X le nombre de bouteilles de lait ayant un bouchon parmi les 10 bouteilles prélevées. a)Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres. b)Déterminer p(X = 8). c)Déterminer la probabilité d'obtenir au plus une bouteille de lait sans bouchon. Merci d'avance ! Edité 1 fois. La dernière correction date

usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 Quelques motivations 1.1 La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  P = E  1/2 0 1/2 0   S  0 1/2 0 1/2

l’analyse factorielle des psychologues Comme la statistique, l’analyse de données « réfrénant son vol mathématique, doit s’honorer d’être une science expérimentale » A la différence de la statistique, qui étudie généralement une ou deux variables aléatoires en se fondant sur des hypothèses (distribution, probabilités) l’analyse de données construit à partir de la réalité observée, des hypothèses, en étudiant simultanément plusieurs variables. Ce qui la différencie donc principalement de la statistique