Dans Le Plan Complexe Rapporté Au Repère Orthonormal Direct

EXERCICE 2 (5 points ) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument π . 2 1) 2) Montrer que (1 + i)6 = −8i. On considère l’équation (E) : z 2 = −8i. a) Déduire de 1) une solution de l’équation (E). b) L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique. 3) 4) Déduire également de 1) une solution de l’équation (E ′ ) : z 3 = −8i. 2π On considère le point

Terminale 4 – série S Le vendredi 5 juin 2009 Devoir Surveillé n 10 ˚ Lycée Albert Thomas 2008-2009. Géométrie – Complexe Exercice 1 Dans un repère orthonorrnal de l’espace on considère les trois plans suivants : • P1 d’équation x + y − z = 0 • P2 d’équation 2x + y + z − 3 = 0, • P3 d’équation x + 2y − 4z + 3 = 0. 1. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection, notée ∆. 2. En déduire la nature de l’intersection

1 2 3 x + 2x − . 2 2 Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d’un repère orthogonal (O ; i , j ) dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite (d) d’équation x = 4. 1. a. Démontrer que ∫ 4 1 h ( x ) dx = 0 . b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des

très progressif, les premières questions peuvent être, malgré tout, relativement faciles. N Bon courage ! Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 1 2 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Table des matières Techniques de calculs, nombres complexes 1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence, résolution de systèmes, polynômes 7 8 9 10 12 13 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(26) b. En déduire un procédé de décodage. c. décoder la lettre W. Exercice 8 Asie, juin 2008 (5 points) Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et b l’ensemble des points du plan, muni d’un repère orthonormal, dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers vérifiant les conditions : 0 x a et 0 y b. On note R a,b ce réseau. Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers x et y à des propriétés géométriques

EXERCICE 4 (5 points ) (Commun à tous les candidats) La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice. Cette feuille est à rendre avec la copie. − − Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O, →, →), le point A a pour affixe i. u v On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec z = i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que : −z 2 z′ = . z−i Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M ′ connaissant le point

France septembre 2002 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u , v ) d’unité graphique 4 cm. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le point M′ d’affixe Z (1 − i) ( z − i) définie par : Z = . z −1 1. a. Calculer l’affixe du point C′ associé au point C d’affixe − i. b. Placer les points A, B et C. 2. Soit z = x + i y où x et y désignent deux nombres réels. x 2 + y 2 −1 ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 − 1 a

SUJET 1 SUJET NATIONAL, JUIN 2011 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par : fn (x) = xn e−x . On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i, j) du plan. Partie A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe Ck où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d’abscisse 1 et la courbe C3 . 4 La droite Tk coupe l’axe des abscisses au point A de coordonnées ;0 . 5 1. a) Déterminer

Méthodes Ch 6(début) : Nombres complexes (d’après « Faire le point » TS éd. Hachette) Comment écrire un nombre complexe sous forme algébrique ? Méthode Pour écrire un nombre complexe sous forme algébrique, on développe en utilisant les propriétés de l’addition et de la multiplication dans C . Et, s’il y a un dénominateur, on le multiplie par son conjugué pour le rendre réel. Attention : x + i y n’est la forme algébrique que si

APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES EN GEOMETRIE Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O; u , v ) →→ 1 ) UTILISATION DE L'AFFIXE D'UN VECTEUR : DISTANCES ET ANGLES Rappel : La notion de distance correspond au module, la notion d'angle à l'argument. Propriétés → → Soit V et V ' deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z' . Si z et z' ont pour formes trigonométriques z = r (cos θ + i sin θ) et z' = r' (cos θ' + i sin θ') alors : → → → → ( u , V )