Densité de probabilité

..........................................................................................17 © www.e-tahero.net – Z.M.F Portail des Etudiants d’Economie -3- Professeur HILAL Statistiques II CHAPITRE 1 : AXIOMES DU CALCUL DES PROBABILITÉS IQuelques définitions : 1- Ensemble fondamental : Souvent noté « Ω », c’est l’ensemble des résultats (ou cas) possibles liés à une expérience aléatoire effectuée sur un ensemble E. 2- Événement : C’est toute partie (ou sous ensemble) de Ω.

Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2011 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire . . . . . . . . 1.1.1 Un exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mesures et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

très grand nombre de petites causes (variables aléatoires) indépendantes. Cette loi joue un rôle capital en probabilité et en statistique. De…nition 1 On appelle loi de Gauss (ou loi normale, loi de Laplace-Gauss) centrée et réduite, une loi de probabilité de densité dé…nie sur R telle que : 1 f (x) = p e 2 3 x2 2 1.1.1 Propriétés La fonction f (x) est bien une densité de probabilité. Elle est positive et de plus : Z +1 x2 1 p e 2 dx = 1 2 1 R +1 R +1 1 2 2 En e¤et, considérons l’intégrale

boule tirée dans le sac avant le tirage suivant. Question 1 : La probabilité de tirer trois boules noires est : 4 9 1 3 4×3×2 3 b. c. a. d. 8 8 2 8×7×6 3 Question 2 : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu’il ait tiré 3 boules rouges est : 1 23 1 3 d. c. a. 0 b. 8 128 92 B. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = x +m où m est une constante réelle. Question 3 : f est une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ; 1] lorsque 1 1 d. m = e−1 c. m = e 2 a. m

ENSI 2013 Transmission numérique, Introduction 4 Chapitre 1 Processus aléatoire Plan  Processus aléatoire  Processus stationnaire  Fonctions de corrélation et de covariance  Processus ergodique  Densité spectrale de puissance  Processus Gaussian  Bruit ENSI 2013 Processus aléatoire 6 Introduction  Dans le domaine de l’ingénierie il est notoire d’utiliser les modèles mathématiques pour décrire les phénomènes physiques

Résumé : Probabilités Niveau : Bac Sciences de l’informatique Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber Tableau récapitulatif sur le dénombrement: Type du tirage : Simultané Successif sans remise Successif avec remise Un tirage possible : Une combinaison Un arrangement Une application L’ordre : N’intervient pas Intervient Intervient Nombre de tirages de ? éléments parmi ? éléments : Sans répétition ?? Sans répétition ?? Possibilité de répétition

            Distribution de probabilité :   Quand on traite une variable discrète ou entière, la  distribution de probabilité est la donnée des probabilités d'apparition des différentes valeurs de la v.a.   Par exemple             P(X=1) = 1/6, P(X=2) = 1/6, ......., P(X=6) = 1/6 c'est à dire P(X=k) = 1/6 pour k= 1,2,....6.             P(Y=k) = (1/2)k  (les k-1 premiers lancers doivent donner Face et le kème Pile; ils sont indépendants).   On peut donner la distribution de probabilité (on dit aussi loi

Fonction de probabilité f(x) = P[X = x] où f(x) ≥ 0 et f(x) = 1 DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES P[X≤n] = P[X=0] + P[X=1]+ … + P[X=n] P[X≥n] = P[X≤n-1] = 1-{P[X=0] + P[X=1]+ … + P[X=n-1] Probabilité uniforme f(x) = 1/n n = nb de valeurs que peut prendre x Espérance = moyenne E(x) = µ =  x.f(x) Variance Var(x) = 2 =  (x-µ)2.f(x) Loi binomiale f(x) = (■(n@x)) px (1-p)n-x µ = np 2 = np(1-p) n = nb de tirages p = probabilité de succès à chaque tirage x = nb de succès

Lycée A. Argouges - Grenoble Probabilités ? V.A.R. continues Casio La variable aléatoire X suit la loi normale N 20, 5 . 1. Calculer, avec une précision de 10–4 les probabilités suivantes : P  X 28 ; P  X 12 ; P 12 X 28 . 2. Déterminer à 10–2 près le nombre réel x tel que P  X x =0,99 . 3. Tracer la densité de probabilité de la loi normale N 20, 5 . ? * Fonction Ncd  Lower : borne inf ,Upper : borne sup ,∈ℝ + ,∈ℝ Probabilité des événements  X  x  et  X  x  Dans

variable X = F − (U ) a pour fonction de répartition F. Ainsi, à partir d’un générateur de loi uniforme sur [0, 1], on peut en principe simuler n’importe quelle loi, à condition d’avoir un algorithme pour calculer F − . Rappelons que lorsque X est à densité, F − est la fonction inverse (au sens fonction réciproque) de la fonction de répartition. Exemple : simulation d’une loi exponentielle de paramètre λ. La fonction de répartition est x → 1 − exp(−λx), sa réciproque est x → − λ1 ln(1 − x). D’où l’algorithme