Densité de probabilité

AIDE MÉMOIRE PROBABILITES / CALCUL STOCHASTIQUE Prof. Pierre Devolder (UCL) 2009 Table des matières • • • • • • • 1. Eléments de probabilités 2. Processus stochastiques 3. Le mouvement brownien 4. Intégration stochastique 5. Equations différentielles stochastiques 6. Théorème de Girsanov 7. Représentation de Feynman- Kac UCL Devolder 2 1. Probabilités Notions de base de probabilité : (Ω , ℑ) - espace mesurable : Avec : Ω = un ensemble ℑ = une sigma algèbre

... 32 2 RAPPELS MATHEMATIQUES I. FONCTION GENERATRICE, TRANSFORME EN Z TRANSFORMEE DE Soit une variable aléatoire X qui prend ses valeurs dans un ensemble LAPLACE, appelé espace des états et soit f(x) sa fonction densité de probabilité. La fonction de répartition de X est : FX(x) = Pr{X x}. Le moment centré d’ordre k de la v. a. X est E{[X-E(X)]k} avec: E(X) = xf ( x )dx quand X est continue et E(X) = xf(x)dx quand X est discrète. Pour k = 2, nous avons

VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES 1. Loi de probabilité 2 1.1. Exemple 2 1.1.1. Calcul de probabilités sur un univers W 2 1.1.2. Variable aléatoire à valeurs réelles. 2 1.1.3. Probabilité image définie par une variable aléatoire 2 1.1.4. Loi de probabilité ou distribution d’une variable aléatoire 3 1.1.5. Fonction de répartition 3 1.2. Autres exemples 3 1.2.1. Exemple de variable aléatoire discrète 3 1.2.2. Exemple de variable aléatoire discrète, prenant une infinité de valeurs 3

dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−5 ; 5]. On note f ′ la fonction dérivée de f . y 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 1. Sur l’intervalle [−5 ; 5] : a) f est une fonction de densité de probabilité c) f n’est pas continue b) f est positive d) l’équation f ′ (x) = 0 admet deux solutions 2. Sur l’intervalle [−5 ; 5] : a) f ′ (1) = 0 c) f ′ (0) = 0 b) f ′ (0) = 1 d) f ′ (1) = 1 3. On admet qu’une équation de la tangente à la courbe

et 4. 2.2. Distribution de probabilité À chacune des valeurs x que peut prendre une variable aléatoire X, correspond une probabilité p(x), c'est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x : p(x) = p(X = x) L’ensemble des valeurs admissibles x et des probabilités correspondantes p(x) constitue une distribution de probabilité discontinue. La relation entre x et p(x) est appelée loi de probabilité. Pour toutes les distributions de probabilités dont les valeurs x correspondent

La classe exponentielle de lois Plusieurs résultats généraux existent pour cette famille de lois. Il s’agit d’une famille de lois de probabilité englobant plusieurs lois. Définition Soit une famille paramétrique de lois admettant des fonctions de densité {f (x, θ); θ ∈ Θ ⊂ Rk }. On dit qu’elle appartient à la classe exponentielle de lois si la densité de probabilité conjointe L(x1 , · · · , xn ) = X1 , · · · , Xn , s’écrit: k n j=1 f (xj ) de L(x1 , · · · , xn ) = c(θ)h(x1 , · · · , xn

et 4. 2.2. Distribution de probabilité À chacune des valeurs x que peut prendre une variable aléatoire X, correspond une probabilité p(x), c'est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x : p(x) = p(X = x) L’ensemble des valeurs admissibles x et des probabilités correspondantes p(x) constitue une distribution de probabilité discontinue. La relation entre x et p(x) est appelée loi de probabilité. Pour toutes les distributions de probabilités dont les valeurs x correspondent

FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES PROCESSUS STOCHASTIQUES Stochastique vient du grec stokhastikos qui veut dire conjectural et de stockhos qui signifie but. Se dit de phénomènes qui partiellement relèvent du hasard et pour lesquels on ne peut formuler que des prévisions globales d’ordre statistique. En informatique un calculateur stochastique est un calculateur dans lequel l’information est codée par une probabilité. 1. INTRODUCTION 1.1. RAPPELS ET COMPLEMENTS 1.1.1. La fonction o

Loi normale ou loi de Gauss Familles de loi de probabilité continues, définies sur l’ensemble des réels, complètement caractérisées par leur espérance et leur variance De distribution symétrique autour de leur espérance x ~ N (µ ,σ 2 ) f ( x) =  ( x − µ )2   exp −  2σ 2  2πσ   1 2 Exemples de lois normales Fonction de répartition Pas calculable analytiquement Calcul numérique La loi normale centrée réduite Loi normale d’espérance nulle et de variance 1 u ~ N (0,1) f (u )

SÉRIES TEMPORELLES Patrick Sillard 5 janvier 2007 TABLE DES MATIÈRES Table des matières I Rappels de probabilités 1. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . 2. Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Covariance et corrélation . . . . . . . . 5. Fonction de répartition conjointe . . . 6. Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . .