Distributivité

2014 II. Développer et factoriser 1. Distributivité Définitions : Développer c’est transformer un produit en une somme (ou différence) de termes. Factoriser c’est transformer une somme en un produit de facteurs. Exemple : x(4 – y) = 4x – xy On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition (ou la soustraction). Dans l’exemple, on a distribué la multiplication par x sur les termes 4 et y. 2. Double-distributivité Propriété : 3. Identités remarquables

chacun des produits (ou carrés) qui s’y trouvent. Pour cela, on utilise les règles de distributivité (simple et double) ainsi que les identités remarquables. Distributivité simple Distributivité double Identités remarquables. k (a + b) = k a + k b (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (a – b) 2 = a2 – 2 a b + b2 (a – b) (a + b) = a2 – b2 1. a. Développer en utilisant la distributivité A =3(x – 4) B = (x + 7)(4 x – 3) C = (x + 7) – (4 x – 3) b. Soit l’expression D

obtient donc une addition C'est la distributivité simple. Exemple: 6*(5+2) on retrouve ici la formule a*(c+d) de la distributivité simple on fais donc nos traits et on obtient 6*5 + 6*2 30 + 12 =42 Ensuite il y a (a+b)*(c+d) on a bien ici une multiplication et nous voulons une addition, il faut suivre les traits et multiplier les nombres on obtient donc (a*c) + (a*d) + (b*c) + (b*d) On obtient donc des additions C'est la double distributivité Exemple: (5+2) * (7+3) on retrouve

Additions et multiplications sont commutables a∙b = b∙a a − b =/ b − a Soustractions et divisions ne sont pas commutables a ÷ b =/ b ÷ a a(b + c) = a ∙ b + a ∙ c 1 a = inverse de a −a b a = −b =− ab Hiérarchie des opérations Fractions Distributivité Puissances et racines Puissances a0 = 1 a−n = a1n am ∙ an = am+n (ab)n = an ∙ bn (an)m = am∙n an am = an−m Racines n m √an = am a √a ∙ b = √a ∙ √b √a √ b = √b   Notations Polynômes et fractions polynomiales Les produits remarquables

+ 7 4x + 3 = 7 2x + 7 = 9 7 ≠ 9 donc cette égalité n’est pas vraie pour x = 1 Pour x = 2 : 4x + 3 = 4 × 2 + 3 2x + 7 = 2 × 2 + 7 4x + 3 = 11 2x + 7 = 11 donc cette égalité est vraie pour x = 2 III/ DISTRIBUTIVITÉ Quels que soient les nombres k, a et b, les égalités suivantes sont toujours vraies : • k × (a + b) = k × a + k × b • k × (a - b) = k × a - k × b Exemples : 4 × (a + 5) = 4 × a + 4 × 5 On dit qu’on développe le

somme algébrique. (on peut dire que c’est l’inverse de la factorisation) Il suffit d’appliquer «bêtement la méthode », c’est la transformation la plus simple. Ex : k(a+b) = ka + kb et k (a – b) = ka – kb Remarque : Il existe la double distributivité qui suit le même principe : Ex : (a+b)(c+d) = ac + ad + bc+ bd et (a – b)(c + d)= ac + ad – bc – bd  On avait un produit de facteurs, on a maintenant une somme de plusieurs termes.

quelque soit b E B et quelque soit c E B - a + b = b + a commutativité de l’addition booléene C+ - a X b = b X a commutativité de la multiplication CX - a + bc = (a + b)X(a + c) distributivité de l’addition et la multiplication d+/X - a(b+c) = (ab)+(ac) distributivité de la multiplication et l’addition dX/+ - a + 0 = a élément neutre de l’addition n+ - a X 1 = a élément neutre de la multiplication nX - a + ä = 1 complement pour l’addition b+

l’intérieur des parenthèses. 3 On effectue les multiplications et divisions On détermine le signe du produit. (- 5) x 6 + 4 - 5 = -30 + 4 - 5 5 x (7 + 2) = 5 x 7 + 5 x 2 = 35 + 10 5 x (7 - 2) = 5 x 7 - 5 x 2 = 35 -10 On applique la distributivité si nécessaire a x (b + c) = a x b + a x c a x (b - c) = a x b - a x c 4 On effectue les additions On regroupe les termes de même signe. ou soustractions (- 5) x (8 – 4 + 2) - (-4) - (+ 5) = (-5) x 6 + 4 - 5 = -30 + 4 – 5 = -30 – 5 + 4 =

(3 t' - 2 x+ 1 ) + (5 ,É+ 3x- 4) =3Ê -2x+1 +5* +3x-4 = 8 x i+ x - 3 . = (3* - 2x + l) - (5ri + 3x- 4) =3*-2x+l-5.f-3x+4 =-2*-5x+5- 3 La sommede deux polynômes un polynôme. est La différence entre deux polynômes est un polynôme. o La distributivité de la multiplication ou I'addition et la soustraction aX(b+c)=axb+axc et la règle de la multiplication de monômes a.fn x bf = abfn* n ax(b-c)=axb-aXc permeËent d'effectuerles multiplications entrepolynômes. produit P(x) des polynômes Ex

II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : * par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² * en utilisant la géométrie : Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous : factorisation, développement, identités remarquables