Distributivité

NOMBRES COMPLEXES Au début du XVIème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3ème degré x 3 + px = q : x= 3 q - q 2 + 4 p3 27 + 2 3 q + q 2 + 4 p 3 27 2 A la fin du XVIème siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l'équation x 3 - 15x = 4. Il obtient littéralement : x= 3 2 - 11 -1 + 2 + 11 -1 -1 . 3 Cette écriture n'a, a priori, pas de sens puisqu'on ne sait pas ce que représente le symbole

Suites r´ eelles et complexes Table des mati` eres I. Propri´ et´ es de R 1) Le corps des r´ eels 2) La droite num´ erique achev´ ee 3) Repr´ esentation d´ ecimale d’un r´ eel 4) Parties denses de R II. Limite d’une suite r´ eelle 1) D´ efinition 2) Op´ erations sur les limites 3) In´ egalit´ es et limites III. R´ esultats fondamentaux sur les suites r´ eelles 1) Suites monotones, suites adjacentes 2) Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass IV. Exemples de suites r´ eelles 1) R´ esum´ e des m´

pour la loi +. En revanche dans Z, tout ´l´ment n a un ee inverse : c’est −n. 2. La multiplication dans N ou Z est associative, commutative et a pour ´l´ment neutre 1. ee Lorsque E poss`de deux lois internes T et × , on peut d´finir la notion de distributivit´ . e e e D´finition 0.0.3 On dit que × est distributive par rapport a T si e ` ∀(a, b, c) ∈ E × E × E, a × (b T c) = (a × b) T (a × c). Exemple : Dans N, Z, Q ou R, la multiplication est distributive par rapport a l’addition. ` Groupes et sous-groupes

z2 + z1 commutativité de la somme ; 2. z1 :z2 = z2 :z1 commutativité du produit ; 3. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) associativité de la somme ; 4. (z1 :z2 ) :z3 = z1 : (z2 :z3 ) associativité du produit ; 5. (z1 + z2 ) :z3 = z1 :z3 + z2 :z3 distributivité du produit par rapport à la somme. V. Deux nombres complexes z1 = (a1 ; b1 ) et z2 = (a2 ; b2 ) sont dits opposés si leur somme est nulle, c’ est-à-dire z1 + z2 = 0 , a1 = a2 et b1 = b2 VI. Le nombre complexe (a; b) est appelé conjugué du nombre

produit de matrices Malgré les difficultés soulevées au-dessus, le produit vérifie les propriétés suivantes : Proposition 2 1. A(BC) = (AB)C : associativité du produit, 2. A(B + C) = AB + AC à la somme, 3. A · 0 = 0 et et (B + C)A = BA + C A : distributivité du produit par rapport 0 · A = 0. Démonstration Posons A = (a i j ) 2 M n,p (K), B = ( b i j ) 2 M p,q (K) et C = ( c i j ) 2 M q,r (K). Prouvons que A (BC ) = ( AB)C en montrant que les matrices A (BC ) et ( AB)C ont les mêmes coefficients

Espace vectoriel En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corpsK, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires. Définitions Soit K un corps1,2, comme le corps commutatifQ des rationnels, celui, R, des réels3

Lois de composition internes 1-) On définit dans I la loi ∗ par: a ∗ b = a + b + ab. R a-) Justifier que ∗ est bien une loi de composition interne dans I R. b-) Montrer que cette loi est commutative. Est-elle associative ? c-) Montrer que ∗ admet un élément neutre. d-) Quels sont les éléments inversibles par rapport à cette loi ? e-) Quels sont les éléments réguliers ? f-) Montrer que I + est stable par ∗. En est-il de même de I – ? de I * ? de Z ? R R R Z ––––––––––––––––

Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales, Rabat -Agdal Éléments d’algèbre et de géométrie Chapitre II : Espace vectoriel de dimension finie Professeure : Amale LAHLOU _________________________________________________ Semestre III / Session : Automne-Hiver 2011/2012 2 Professeure : Amale LAHLOU Sommaire MOTIVATION ......................................................................................................................... 3 1 STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL ......

FACTORISATIONS Vient du latin « Factor » = celui qui fait Introduction : Retrouver les expressions qui sont factorisées : A = (2x + 1)(1 + x) F = (1 + 3x)(x – 2) + 1 K = (x – 4) – 3(5 + 2x) B = (x + 3) + (1 – 3x) G = 4x – 15 L = (6 + x)2 – 4(2 + 3x) C = (x – 4) – 3(3 + 2x) H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x) M = (2 + 2)(3 – 4x) D = 2(1 + x) I = (x + 15)2 N = x(x – 2) E = 3(5 + x)(32 + 5x) J = 4 – (x – 5)(3x – 5) O = (2x + 1)2(1 + x) Réponses : A, D, E, H, I, M

FICHE RECAPITULATIVE IDENTITES REMARQUABLES Identités remarquables Théorème: Soient a et b des nombres réels : Il faut connaître ces résultats par cœur! Exemples: _ Développer (x + 3)² On reconnaît l’identité (a + b)², avec a = x et b = 3 On obtient : (x + 3)² = x² + 6x + 9 _ Développer (3x – 2)² On reconnaît l’identité (a - b)², avec a = 3x et b = 2 On obtient : (3x – 2)² = 9x² – 12x + 4 Attention, le carré de 3x est 9x². _ Développer A = (2x – 3)(2x + 3) On applique la 3ème identité avec a =