Distributivité

) = matB (g) × matB (f ) α)”Associativité”.  A ∈ Mnp (K) B ∈ Mpq (K) alors (AB) C = A (BC) PROP : si  C ∈ Mqr (K) D4 (par les applications linéaires, et par le calcul). 4 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 β) Distributivité PROP : si        A ∈ Mnp (K) B, C ∈ Mpq (K) A, B ∈ Mnp (K) C ∈ Mpq (K) alors A (B + C) = AB + AC alors (A + B) C = AC + BC D5 (par les applications linéaires, et par le calcul). γ) Relations avec la multiplication externe . A ∈ Mnp

font de (E, +) un groupe commutatif. • Multiplication externe : 5. Associativité : R × E −→ E (λ, v) −→ λ v ∀λ, µ ∈ R , ∀v ∈ E , 6. Élément neutre : ∀v ∈ E , λ(µ v) = (λµ) v 1v = v 7. Distributivité (1) : ∀λ, µ ∈ R , ∀v ∈ E , (λ + µ) v = λ v + µ v 8. Distributivité (2) : ∀λ ∈ R , ∀v, w ∈ E , λ (v + w) = λ v + λ w La proposition suivante nous autorisera à noter 0 l’élément neutre pour l’addition (nous l’appellerons « vecteur nul ») et −v l’opposé de v. Proposition

du fait qu’ils cherchaient à résoudre cette question en respectant simultanément deux contraintes : — conservation de la validité des règles habituelles du calcul algébrique (associativité et commutativité de l’addition et de la multiplication, distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, etc.) ; — aptitude du nouveau concept à l’étude des rotations autour de l’origine. Ce fut le mathématicien et astronome irlandais Hamilton qui réussit en 1843, après une dizaine d’années de recherches

intuition des nombres (qui s’affine avec l’entraînement) ainsi qu’une part d’initiative et de choix. Il opère sur des nombres et permet d’enraciner l’ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité).  L’expression de « calcul mental », signifie qu’entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela n’implique pas qu’aucun support écrit ne puisse intervenir

zL 0+x = x+0 = x x + H−xL = 0 x+y = y +x où K * = K\80< x, y ε K ∗ ∀ x, y, z ε K ∗ ∃ 1 ε K∗ ∀ x ε K∗ 1 ∀ x ε K∗ ∃ ε K∗ x x ⋅ y ε K∗ Hx ⋅ yL ⋅ z = x ⋅ Hy ⋅ zL 1⋅x = x⋅1 = x 1 x⋅ =1 x ∀ x, y ε K ∗ x⋅y = y ⋅x Distributivité ∀ x, y, z ε K x ⋅ Hy + zL = x ⋅ y + x ⋅ z Exemples H , +, ⋅L H , +, ⋅L est un corps est un corps Contre-exemples H , +, ⋅L H , +, ⋅L n' est pas un corps n' est pas un corps ü Le problème de l'extension des nombres réels

2.2 Tester une expression numérique ................................................................................3 Développement et factorisation.......................................................................................4 3.1 Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ...........................................4 Nombres en écriture fractionnaire...................................................................................5 4.1 Rappels :..................

Polynômes et Fractions rationnelles 1. Généralités Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang. Remarque On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈

Nombres réels et complexes I. Nombres réels Weierstrass (1863) et Dedekind (1872) furent les premiers à proposer une construction satisfaisante de ℝ ... que nous ne présenterons pas. Parmi les nombres réels, ceux qui s’écrivent comme rapport de deux entiers sont dits rationnels, ils forment l’ensemble ℚ . Les autres sont dits irrationnels. 1°) Opérations dans ℝ ℝ est muni de deux opérations + et × i.e. de deux applications : ℝ×ℝ → ℝ ℝ×ℝ → ℝ et . (x , y ) ֏ x + y (x , y ) ֏ x ×y Propriétés

Cours Algébre Linéaire : Espaces Vectoriels réels Matrices Applications Linéaires Systèmes Linéaires Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Première Année Babacar M. NDIAYE. Année 2010-2011. LMDAN, babacarm.ndiaye@ucad.edu.sn http ://lmdan.ucad.sn Notes Ces notes de cours correspondent à un enseignement de première année de la FASEG. Ceci ne constitue qu’une première version et les chapitres manquants seront complétées au fur et à mesure qu’on avancera

Classe de Première ES, option Maths (603 – 605) Chapitre 3 Calcul matriciel 1. Définitions et Vocabulaire a. Définitions d'une matrice Définition Une matrice de dimension n×p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes Exemples [ [ 3 7 8 7 2 1 4 5 5 6 10 2 ] 3 4 0 0 7 1 −5 6 [7 6 7 8 0 −5 8 2 −1 13 11 5 3] [] 1 4 2 5 −3 Cette matrice a pour dimension 3×4 Elle comporte 3 lignes et 4 colonnes C'est une matrice quelconque ] Cette matrice a pour dimension 4×4 Elle comporte