Distributivité

résultats de l’arithmétique usuelle, sauf dans le cas du postulat (5) où 1+1=1. 21 2 - A L G È B R E D E B O O L E De ces postulats découlent les axiomes suivants. Soient a, b et c des éléments de E : Commutativité Associativité Distributivité Élément neutre Complémentation 2.1.2 Principe de dualité Chaque axiome et chaque postulat possède un équivalent dual, où les éléments 0 sont remplacés par des 1, les 1 par des 0, les ( · ) par des ( + ) et vice et versa. Aussi, tout théorème de

2nde Expressions algébriques : révisions et approfondissements 1° Développer/réduire une expression Développer puis réduire les expressions suivantes. (on rappelle que pour développer une expression on utilise soit la distributivité, soit les identités remarquables) 1 ) 2( x+4)= 2) x (3−2 x)= 2 4 3 ) 3 x ( x +2 x )= 4 ) (4 x+2)(5−2 x)= 2 2 5 ) 3( x −5)( x− x )= 2 6 ) (4 x+2) = 2 7 ) (x−1) −x= 8 ) ( x−5)( x+5)= 2 9 ) ( x−1) −4 x−1= 2 2 10 ) (2x +4 x)(5−2 x)+(2 x+ x )(4 x−10)=

∩ et la réunion ∪ sont des L.C.I. 2 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007 Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel réel I-1-2 Propriétés a) Associativité, Commutativité, Distributivité i) Définitions • • • La L.C.I. ∗ est dite associative si ∀( a , b, c ) ∈ E 3 : ( a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ) La L.C.I. ∗ est dite commutative si ∀( a , b) ∈ E 2 : a ∗ b = b ∗ a La L.C.I. ∗ est dite distributive par rapport à Τ si :  ( aΤb) ∗

/ (8 - 4)) x 2 = (3 – 4 / 4) produits en priorité sur les additions et x 2 = (3 - 1) x 2 soustractions à l’intérieur des parenthèses. 3 On effectue les multiplications et divisions On détermine le signe du produit. On applique la distributivité si nécessaire a x (b + c) = a x b + a x c a x (b - c) = a x b - a x c 4 On effectue les additions On regroupe les termes de même signe. ou soustractions (- 5) x 6 + 4 - 5 = -30 + 4 - 5 5 x (7 + 2) = 5 x 7 + 5 x 2 = 35 + 10 5 x (7

quatre « 1 » en caractères non italiques correspondent à c Ce qui conduit à l’expression booléenne simplifiée a+ c 7. (1 point) bc + a + bc + abc ( ) = a + c b + b + abc (distributivité) = a + c.1 + abc (tiers-exclus) = a + c + abc (1 élément neutre de la multiplication booléenne) ( = a + c 1 + ab ) (distributivité) = a + c.1 (1 est un élément absorbant) = a+c (1 élément neutre de la multiplication booléenne) 8. a. (0,5 point) bc + a + bc + abc = a + c (d'après les deux questions précédentes)

– 2 x y =16 2y (4x + 2)(3x - 1) = 4x x 3x - 4x x 1 + 2 x 3x - 2 x 1 = 12x² - 4x + 6x – 2 = 12x² + 2x - 2 6x + 9 + 3x = 3(3x + 3) 8x + 4x² = 4x(2 + x) DEVELOPPER : C’est donner le résultat sous la forme d’une somme de termes. Règles de la distributivité Développement k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka – kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd FACTORISER : C’est donner le résultat sous la forme d’un produit de facteurs. Factorisation REDUIRE : C’est regrouper tous les termes identiques.

x(x + 1) = 2a(x + 1) 2 x x=2x 4 x y+5 = 4y+5 7 x x x (2y + 1) = 7x(2y + 1) 5(x + 2) = 5x + 5 x 2 = 5x + 10 2(8 - y) = 2 x 8 – 2 x y =16 2y (4x + 2)(3x - 1) = 4x x 3x - 4x x 1 + 2 x 3x - 2 x 1 = 12x² - 4x + 6x – 2 = 12x² + 2x - 2 Règles de la distributivité Développement k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka – kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd FACTORISER : C’est donner le résultat sous la forme d’un produit de facteurs. Factorisation REDUIRE : C’est regrouper tous les termes identiques. ATTENTION

Calcul littéral 1 en 3ème 4. DF (1) - simple distributivité - réduction - substitution (+calcul d'images) - factorisation Ce sera abordé plus tard dans l'année Le calcul d'image à partir de l'expression de f sera traité dans ce chapitre. Test d'entrée : priorités de calculs / réduire une expression Types de tâches 1) Déterminer l’image d’un point à partir de l’expression de f 2) Réduire une expression d’ordre 1 ou 2 3) Factoriser une expression Techniques 1) remplacer la

par défaut est 1,5 Une valeur approchée de 11/7 à 0,1 près par excès est 1,6 11/7 est a peu près = à 11,57 à 0,01 près par défaut 11/7 est a peu près = à 11,58 à 0,01 près par excès VI. Distributivité Propriété: a, b et k désignent des nombres relatifs Développement: ka + kb Factorisation: ka + kb = k (a + b) Autrement dit: développer c’est écrire un produit sous la forme d’une somme et factoriser c’est écrire une somme sous la forme

Un groupe commutatif (A, +) est un anneau s'il est muni d'une seconde l.c.i. notée généralement multiplicativement vérifiant les propriétés suivantes : · Associativité de la multiplication : "x, y, z Î A, (x ´ y) ´ z = x ´ (y ´ z) = x ´ y ´ z · Distributivité par rapport à l'addition : "x, y, z Î A, (x + y) ´ z = x ´ z + y ´ z et z ´ (x + y) = z ´ x + z ´ y · Existence d'un élément neutre noté 1 : "x Î A, 1 ´ x = x ´ 1 = x Si de plus la seconde l.c.i. est commutative : "x, y Î A, x ´ y = y ´ x Alors