Divisibilité

SESSION 2001 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´ ` EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ´ MATHEMATIQUES 2 ´ Duree : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanum´riques sont autoris´es, sous r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)

mDurée : 4 heures Baccalauréat S La Réunion juin 2005 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. a. b. 2n = en ln 2−2005ln n a pour limite +∞ : elle diverge. n 2005 n 2n + (−1)n n 2 + (−1) = 1 n +1 1+ n n n 4 points → 2 : elle converge. c. n sin 1 1 sin n = 1 → 1 : elle converge. n n 1 2 n 1 2 ln n d. 2. a. n = ln n n→+∞ = 1 2 n ln n → +∞ : elle diverge. lim (v n ) = 0. On ne peut pas savoir : faux vn 1. Pas forcément : faux b. La suite (un ) est minorée

BAC BLANC n°1 de Mathématiques- Terminales S Vendredi 4 Décembre 2009 durée : 4heures calculatrice autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. EXERCICE 1 : Commun à tous les candidats (5 points) Dix affirmations réparties en trois thèmes et numérotées de 1.a à 3.d sont proposées ci-dessous. Vous porterez sur votre copie, en regard du numéro de

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2009-2010 Devoir De Contrôle N°3 Mathématiques Exercice 2 (6 points) 3ème Maths 2 Heures 1/3 Exercice 1 (3 points) • Pour Chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse correcte vaut 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut 0 point. Dans le plan complexe rapporté

Le nombre important de chapitres et la grande place laissée aux dialogues, fait de ce roman un récit écrit de manière filmique, comme un scénario de cinéma. En effet, les chapitres correpondent chacun à des séquences complètes liées chacune à un événement bien particulier, un peu à la manière des scènes au théâtre. Le chapitre I est l'entrée en scène du héros, le chapitre XI est la scène de première rencontre, par exemple. Notons également que ce roman commence en hiver et se finit au printemps

Terminale S Spe 2010-2011 Nombres Premiers Théorème de Dirichlet (1805-1859) Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre

Corrigé du baccalauréat S France juin 2004 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1. On a pour tout n ∈ N, un+1 = un + 2n + 3, donc un+1 − un = 2n + 3. Or 2n + 3 3 > 0, donc un+1 − un > 0 quel que soit n ∈ N. Conclusion : la suite (un ) est strictement croissante. 2. a. Démonstration par récurrence : – Initialisation : u0 = 1 > 02 : vrai ; – Hérédité : supposons qu’il existe n ∈ N tel que un > n2 , alors un+1 = un +2n+3 > n2 +2n+1+2 ou encore un+1 > (n+1)2 +2 donc a fortiori un+1 >

1 POLYNÔMESdu cours d’algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes n n 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n ∈ N. ∀a ∈ K, P(X) = k=0 P(k) (a) (X − a)k et en particulier P(X) = k! k=0 P(k) (0) k X . k! Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de Xk dans P est ak = P(k) (0) . k! 2) Racines d’un polynôme Ordre de multiplicité d’une racine. (Pour a ∈ K et k ∈ N) a est racine de P d’ordre k si et seulement si il existe un

Relations d’´quivalence e ´ 1. Definitions D´finitions-Notation 1.1. Soit E un ensemble. e • Une relation sur E est la donn´e d’un sous-ensemble R de E × E. e • Une relation R sur E est dite (1) r´flexive si l’on a e (x, x) ∈ R (2) sym´trique si l’on a e (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (3) transitive si l’on a [(x, y) ∈ R] ∧ [(y, z) ∈ R] ⇒ [(x, z) ∈ R] ∀x, y, z ∈ E . • Une relation d’´quivalence sur E est une relation r´flexive, sym´trique et transitive. e e e • En g´n´ral, si R est une relation sur E, on