Endomorphisme

euclidiens 2.4.1 Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries affines du plan 2.4.3 Isométries affines de l'espace 2.4.4 Similitudes planes 2.4.5 La condition de cocyclicite 2.4.6 Applications aux similitudes directes 3. Coniques 3.0 Diagonalisation des endomorphismes symétriques 3.1 Equations d'une conique 3.2 Intersection d'une droite et d'une conique 3.2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole 3.2.2 Cas d'une parabole 3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole 3.2.4 Points d'ou l'on mène une tangente 3

(x|y) = xj yj =t XY (expression j j=1 j=1 matricielle) 2.2 Supplémentaire orthogonal Soit F un sev de E , F admet un supplémentaire orthogonal, dimF ⊥ = dimE − dimF , (F ⊥ )⊥ = F 2.3 Adjoint d'un endomorphisme 2.3.1 Existence et unicité Soit u ∈ EndE ; il existe un unique endomorphisme u∗ tel que ∀(x, y) ∈ E 2 , (u(x)|y) = (x|u∗ (y)), u∗ est l'adjoint de u ; matrice dans une bon 2.3.2 Propriétés L'application u → u∗ est un automorphisme involutif de EndE ; (uv)= v ∗ u∗ , tr(u∗ ) =

à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆ au départ de ℝ n [X ] . 2.a Justifier que ∆n est un endomorphisme de ℝ n [X ] . 2.b Déterminer le noyau de ∆n . 2.c Déterminer le rang puis l’image de ∆n . 3.a Déduire

des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et le noyau d’ un endomorphisme f de E. Id est l’ identit´ sur E. Matβ β e e d´ signe la matrice de f dans la base β de E. Dans la partie I on d´ finit les endomorphismes sym´ triques e e e positifs et on cherche leur racine carr´ e. Dans la partie II on d´ finit l’adjoint d’ un endomorphisme puis

Chapitre: Réduction des endomorphismes 1 Réduction des endomorphismes Proposition 4 : Kerϕ : ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de K[X]. Imϕ = K[u] est une sous algèbre de (E). Si dim E est fini alors u admet un polynôme minimal. Table des matières 1 2 Sous espaces stables par un endomorphisme Polynôme d'endomorphisme ou de matrice 1 1 2.1 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

) 3. A-t-on ( ) ? 4. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ( ) 5. A-t-on ? Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Soit ( )). ( ) par : ) } ( ) et sa dimension. , en donner une base et sa dimension. un endomorphisme de dont l'image de la base canonique ( ) ( ) ( ) 1. Pour tout vecteur déterminer ( ). 2. En déduire que est inversible (c'est-à-dire bijective) et déterminer Allez à : Correction exercice 8 Exercice 9. Soit ) définie pour tout

des polynˆmes ` une ind´termin´e. e e ee o a e e En seconde ann´e, le programme d´veloppe de nouveaux concepts (dualit´, polynˆmes d’endomorphismes, e e e o valeurs propres et sous-espaces propres, r´duction des endomorphismes d’un espace vectoriel et des e MP 3 endomorphismes sym´triques d’un espace vectoriel euclidien, r´duction des matrices). Il comporte en outre e e quelques compl´ments d’alg`bre g´n´rale (arithm´tique, polynˆmes). e e e e e o d) Secteur de la g´om´trie et de ses interventions

valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice II. Sous-espace propre associé à une valeur propre III. Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme/matrice IV. Conditions de diagonalisation d’un endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  . Pour )(, KN nMn   désigne l’ensemble des matrices carrées de type nn à coefficients dans K I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice Définition (matrice diagonale)

commun à A et B est un multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n’existe pas un diviseur Q de P tel

composantes de On a rapporté à la base canonique. On considère les vecteurs est une base de dans la base Cette matrice est inversible et l'on a On a On a Posons Donc 4. Changement de bases et endomorphisme On considère un espace vectoriel dont on connaît une base Soit un endomorphisme de et sa matrice dans la base . Les colonnes de la matrice sont donc formées par les composantes des vecteurs la base . Si est un vecteur de dont l'image est le vecteur de si l'on associe le vecteur colonne