Endomorphisme

lois ∗ et T. Soit f une application de E dans F . On dit que f est un homomorphisme (ou un morphisme) de (E, ∗) dans (F, T) si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , f (x ∗ y) = f (x)Tf (y). Cas particuliers – Un morphisme de (E, ∗) dans (E, ∗) est appel´ un endomorphisme de (E, ∗). e – Un morphisme bijectif de (E, ∗) dans (F, T) est appel´ un isomorphisme. e – Si un tel isomorphisme existe, on dit que (E, ∗) et (F, T) sont isomorphes. D’un point de vue math´matique, deux ensembles isomorphes ont exactement

´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable. 1. Soit v ∈ C(u). Soient i ∈ 1, p et x ∈ Eλi (u). Puisque v commute avec u, v commute encore avec f − λi Id et (f − λi Id)(v(x)) = v((f − λi Id)(x)) = v(0) = 0. Ainsi, ∀i ∈ 1, p , ∀x ∈ E, (x ∈ Eλi (u) ⇒ v(x) ∈ Eλi (u)) et on a donc montré que si v ∈ C(u), chaque Eλi (u) est stable par v. 2. 3. Soit i ∈ 1, p . ui est l’homothétie de rapport λi . Si v ∈ C(u), d’après 1., pour chaque i, la restriction vi de v à Eλi (u) est un endomorphisme de Eλi (u).

En déduire la valeur de d(X n , H). Partie II Un endomorphisme d’un espace euclidien E est autoadjoint si pour tous x, y ∈ E, f (x)|y = x|f (y) . n On note Π = i=0 (X − i) et on fixe un polynôme M0 dans E. On considère l’application φ de E dans E qui à tout P associe le reste de la division euclidienne de M0 P par Π. 1. Montrer que φ est un endomorphisme de E. 2. Exprimer φ(Li ) en fonction de Li . En déduire que φ est un endomorphisme autoadjoint de E. 3. Donner une condition nécessaire

Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de trois exercices indépendants. 1/8EXERCICE 1 Endomorphisme cyclique Présentation générale Dans cet exercice, nous allons étudier la notion d’endomorphisme cyclique dont la définition est donnée ci-dessous. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie n ∈ N∗. On rappelle que pour tout entier p ∈ N∗, on note : f 0 = IdE , f 1 = f , f 2 = f ◦ f , f p = f ◦ · · · ◦ f����������������

nécessaire et suffisante sur F et G pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que F = Kerf et G = Imf. no 21 (***) : Soient E un espace vectoriel non nul de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que : 1) (f non injective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à gauche). 2) (f non surjective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à droite). no 22 (*** I) : fn = 0. Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que  8 no 23 (***I) : Soient

nécessaire et suffisante sur F et G pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que F = Kerf et G = Imf. no 21 (***) : Soient E un espace vectoriel non nul de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que : 1) (f non injective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à gauche). 2) (f non surjective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à droite). no 22 (*** I) : fn = 0. Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que  8 no 23 (***I) : Soient

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés Exercice 7 [ 03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u 1 Eléments d’algèbre linéaire Généralités d’algèbre linéaire Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Projecteurs Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et

Devoir Libre n◦ 2 PSI MATHEMATIQUES (` rendre le 16 septembre 2011) a Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C) et u un endomorphisme de E. On d´signe par keru le noyau de u et Imu l’image de u. e Pour tout entier k strictement positif, uk d´signe l’endomorphisme u ◦ u ◦ u · · · ◦ u (k e fois) et u0 d´signe l’application identique de E. e PREMIERE PARTIE ADans cette partie, E d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que

Ep = ker Dp+1 . Ep ´etant stable par D et g, les endomorphismes induits g p et Dp v´erifient la mˆeme relation. b. De mˆeme que pr´ec´edemment puisque D est un polynˆ ome en g et E n = ker Dn+1 . c. i/ • F est de dimension finie (n + 1) donc engendr´e par une famille finie F de polynˆ omes. Etant finie, F est incluse dans un sous espace Eq donc F ⊂ Eq . Dans ce cas D q+1 F = {0} donc l’endomorphisme induit de DF est nilpotent. DF est un endomorphisme nilpotent en dimension n + 1 donc D Fn+1 = 0 (pr´eliminaire