Endomorphisme

COURS MPSI A 8 C. ALG. LINÉAIRE : COMPLÉMENTS R. FERRÉOL 13/14 C) COMPLÉMENTS D’ALGEBRE LINEAIRE I) PROJECTEURS ET INVOLUTIONS. 1) Projecteurs. DEF : un projecteur d’un espace vectoriel E est un endomorphisme dont le carré est égal à lui-même : p projecteur de E ⇔ p ∈ L (E) p2 (= p ◦ p) = p Les projections vectorielles définies précédemment sont évidemment des projecteurs ; mais la réciproque est vraie : PROP : Tout projecteur p de l’espace vectoriel E est une projection de base Im p = ker (p

Chapitre 1 Mécanique Chapitre 2 Electrocinétique Lecture des œuvres Horace de CORNEILLE Création d’une fiche d’exemples Partie 4 Chapitre 1 Algèbre générale Partie 4 Chapitre 2 Algèbre linéaire et géométrie affine Partie 4 Chapitre 3 Réduction des endomorphismes Partie 3 Chapitre 3 Electromagnétisme Partie 4 Chapitre 4 Espaces euclidiens, géométrie euclidienne, espaces hermitiens Partie 3 Chapitre 1 Etude des systèmes Partie 3 Chapitre 4 Samedi 22 mars Mathématiques Dimanche 23 mars Physique

: α.0 = 0, 0.x = 0, α.(−x) = −α.x = (−α).x Applications linéaires Soient E et F deux espaces vectoriels et u une application de E dans F . On dit que u est linéaire si u(x + y) = u(x) + u(y) et u(λ.x) = λ.u(x) On note L(E) l’ensembles des endomorphismes de E. C’est une algèbre pour les lois +, . et ◦. On note GL(E) le groupe des automorphimes de E muni de la loi ◦. Sous-espaces vectoriels Un ensemble E ⊂ E non vide est un sous-espace vectoriel de E si E est stable pour les lois + et ’.’.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . .

1 1 2 2 3 4 4 5 5 5 5 7 9 9 11 12 12 13 13 15 16 16 16 17 18 18 19 19 21 21 22 i TABLE DES MATIÈRES 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . Image et noyau d’un endomorphisme . . . Sous-espace engendré par une famille finie Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . Obtention de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A l’ensemble formé par les réunions d’un nombre fini d’intervalles de ℝ . Montrer que A est une algèbre de Boole sur ℝ . On rappelle au passage que l’ensemble vide est considéré être un intervalle de ℝ . Endomorphisme d’algèbre de Boole Soit A une algèbre de Boole sur E . On appelle endomorphisme de A toute application f : A → A telle que : (1) ∀A ∈ A , f (A) = f (A) et (2) ∀A, B ∈ A , f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B ) . 3.a 3.b 3.c 3.d Justifier que f (E ) = E et f (∅) = ∅ . Montrer que ∀A, B ∈ A , f (A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 2 : Calculs avec des nombres complexes et des fonctions usuelles. Polynˆmes de o Tchebychev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 3 : Une bonne base pour des endomorphismes de trace nulle. . . . . . . . . . . . . Pb 4 : Polynˆmes sym´triques ´l´mentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e ee Pb 5 : Coefficients du binˆme. Nombre d’op´rations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e Pb 6 : Astro¨

. . . Tout hyperplan contient une matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . Résultant de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance de familles de fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . Endomorphismes laissant stable tous les hyperplans . . . . . . . . . . . . Espace normaux et lemme d’Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compactification d’Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Banach-Steinhaus

– Une application linéaire de E dans F est aussi appelée morphisme ou homomorphisme d’espaces vectoriels. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E,F). – Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L (E). IMAGE D'UNE APPLICATION LINEAIRE Commençons par des rappels. Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F. Soit A un sous-ensemble de E. L’ensemble des images par f des éléments de A, appelé

particulier si , on a Théorème 5.15 (Déterminant d'un endomorphisme )   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E. Alors il existe un unique scalaire K tel que pour toute base de E on a Ce scalaire s'appelle déterminant de u et est noté det(u). Travail 5.16   Donner la preuve du théorème 5.15 ci-dessus. Travail 5.17   Soient un K- espace vectoriel de dimension finie n, u et v deux endomorphismes de E. Prouver les énoncés suivants: 1. 2.