Endomorphisme

. . . . . . . 17.2.4 Réduction de la matrice de f à une forme Jr . . . . . . . . 17.2.5 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Trace d’une matrice, d’un endomorphisme . . . . . . . . . 17.3.1 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2 Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Noyau, image et rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . 17.4.1 Application linéaire canoniquement associée . . . . . . . . . 17.4.2 Noyau

Les determiner. Calculer Tn (0) Tn(1) Tn (;1). 3. Soit E = R X ] l'espace vectoriel des fonctions polynomiales. A tout P 2 E , on associe la fonction u(P ) de nie pour tout x reel par : 1 Z x+1 P (t) dt u(P )(x) = 2 x;1 a) Montrer que u est un endomorphisme de E . b) Determiner un developpement limite de u(Tn) en 0 a l'ordre 2. c) Determiner un equivalent de u(Tn )(x) lorsque x tend vers l'in ni. 4. Determiner le noyau de u. En deduire son image. 1. Montrons les relations demandees par recurrence

et = sup |un |. n∈N On considère les endomorphismes ∆ et C de ℓ (C) définis par : ∀u ∈ E, ∆(u) = v où ∀n ∈ N, vn = un+1 − un et ∀u ∈ E, C(u) = w où ∀n ∈ N, wn = Montrer que ∆ et C sont continus sur (E, no 3 (*** I) : On pose T : ∞) 1 n+1 n uk . k=0 et calculer leur norme. 1 1 On munit E = C0 ([0, 1], R) de la norme 1 définie par ∀f ∈ E, f E → f → E Tf : [0, 1] x → R x = 0 |f(t)| dt. et on admet que T est un endomorphisme de E. → f(t) dt 0 1) Démontrer que T est

Mn (R) avec rg(M) < n ; prouver que M est ´quivalente ` une matrice nilpotente. e a D´terminer les valeurs et vecteurs propres des endomorphismes de e E = Cn [X] : (1) ∆1 (P ) = P (2X + 1) (2) ∆2 (P ) = (X 2 − 1)D(P ) − nXP (3) ∆3 (P ) = P + P (jX) + P (j 2 X) (4) ∆4 (P ) est le reste de la division de X n P par (X − a0 ) . . . (X − an ) u et v sont des endomorphismes de E tels que u admet n valeurs propres distinctes avec n = dim(E) et u ◦ v = v ◦ u. o Prouver qu’il existe un polynˆme P ∈ Kn−1 [X]

euclidien orient´ de dimension n ≥ 1, muni du e e e produit scalaire not´ (x|y). La norme euclidienne associ´e est not´e ||x|| = (x, x). e e e e On note L(En ) l’ensemble des endomorphismes de En , S(En ) l’ensemble des endomorphismes sym´triques de En , O(En ) son groupe orthogonal et GL(En ) l’ensemble des endomorphismes inversibles de En . Par la suite, φ d´signe un autre produit scalaire sur En et on note Sφ = {x ∈ En / φ(x, x) = 1}. e I – Premi`re partie e 1. Montrer qu’il existe u ∈ S(En )

n −1 f ( x0 ) = 0 et les α i (0 ≤ i ≤ n − 1) sont nuls. La famille Soit Q = q0 + q1 X + K + qk X k (Id , f ,K, f ) est libre ainsi que toute sous famille de cette famille. n −1 k avec Qk ≠ 0 vérifiant Q ( f ) = 0 , les k + 1 endomorphismes Id , f ,K, f sont liés et k ≥ n . c) Q ( f )( x0 ) = f ( x0 ) − pn −1 f n n −1 K P ( f ) f ( x0 ) = f k ( ) k (P( f )( x0 ) ) = 0 . ( x0 ) KK − p0 x0 = 0 ; P ( f )( f ( x0 ) ) = f P ( f ( x0 ) ) = 0 K Donc P ( f ) annule

− λ). L’endomorphisme f admet exactement deux valeurs propres distinctes à savoir λ = 1, valeur propre d’ordre 2 et µ = 4, valeur propre d’ordre 1. 1 1 1 4) D’après la question 2), pour tout entier naturel m, fm = 1m (id − j) + 4m j et les endomorphismes p = id − j et 3 3 3 1 q = j conviennent. 3 Réciproquement, si ∀m ∈ N, on a fm = 1m p + 4m q, on a nécessairement p + q = f0 = id et p + 4q = f1 = id + j et donc 1 1 3q = (id + j) − id = j puis q = j et enfin p = id − q = id − j. Ceci montre l’unicité

64 12 points Soit (A,B) ∈ Mn (C)2 sans valeur propre commune. a. Montrer que χA (B) est inversible b. Montrer que ∀X ∈ Mn (C), (AX = XB ⇔ X = 0) c. Montrer que ∀M ∈ Mn (C),∃X ∈ Mn (C), unique / AX − XB = M CCP 65 12 points E euclidien et u endomorphisme de E tel que u ◦ u∗ = u∗ ◦ u 1. Montrer que ker u = ker u∗ et que u et u∗ ont les mˆmes valeurs propres et les mˆmes vecteurs propres e e 2. Montrer que deux vecteurs propres associ´s ` deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux e a ⊥ 3.

dimension et un supplémentaire. Endomorphisme opérant sur les polynômes Exercice 26 Soit n ∈ ℕ∗ et ∆ : K n +1[X ] → K n[X ] l’application définie par : ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . a) Montrer que ∆ est bien définie et que ∆ est une application linéaire. b) Déterminer le noyau de ∆ . c) En déduire que cette application est surjective. Exercice 27 Soit ∆ : ℂ [X ] → ℂ [X ] l’application définie par ∆ (P ) = P (X + 1) − P (X ) a) Montrer que ∆ est un endomorphisme et que pour tout polynôme P non constant

y) = λ.u(x) + µ.u(y) puis u(0E ) = 0F . Pour se faire repèrer comme n’apprenant pas son cours, il n’y a pas mieux. Vocabulaire Endomorphisme : application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même. Isomorphisme : application linéaire bijective. Automorphisme : endomophisme bijectif. Technique Pour répondre à la question usuelle « Montrer que u définit un endomorphisme de E », il faut montrer d’une part que si un vecteur x est dans E, u(x) est encore dans E puis que u est linéaire.Ne pas oublier