Endomorphisme

In . Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie par +∞ Mk . On rappelle que l’application t → exp(tM ) de R dans Mn (R) est de classe exp M = k! k=0 C 1 , et que sa dérivée en 0 est M . De même, si ϕ est un endomorphisme d’un R-espace vectoriel +∞ k ϕ de dimension finie, on note exp(ϕ) son exponentielle donnée par la série . k! k=0 Soit U un ouvert de Rn . Si f : U → Rp est une application de classe C 1 , on note dfx sa différentielle au point x, soit : 1 ∀h ∈ Rn

Correction 1.a 1.b u n est un endomorphisme de E et on sait qu’image et noyau d’un endomorphisme sont des sous-espaces vectoriels. ∀y ∈ Fn +1 = Im u n +1 , ∃x ∈ E tel que y = u n +1 (x ) donc y = u n (u (x )) ∈ Im u n = Fn . Ainsi Fn +1 ⊂ Fn . ∀x ∈ Gn = ker u n , on a u n +1 (x ) = u (u n (x )) = u (o ) = o donc x ∈ ker u n +1 = Gn +1 . Ainsi Gn ⊂ Gn +1 . 2. F ⊂ E . Pour tout n ∈ ℕ , o ∈ Fn car Fn est un sous-espace vectoriel de E , donc o ∈ F . Soit λ , µ ∈ ℝ et x , y ∈ F . Pour tout

difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile Exercice 1 *** Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un projecteur p et un automorphisme g de E tel que f = g ◦ p. Correction [005598] Exercice 2 **I Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ∀x ∈ E, ∃p ∈ N∗ tel que f p (x) = 0. Montrer que f est nilpotent. Correction [005599] Exercice 3 *** Soit E un C-espace vectoriel

L’application ϕ : y → xy, d´finie sur KE , est bien ` valeurs dans KE (stabilit´ pour le produit.) e a e Cette application est ´videmment Q-lin´aire. e e Elle est injective. En effet : y ∈ ker ϕ ⇒ xy = 0 ⇒ y = 0 car x = 0. Ainsi ϕ est un endomorphisme injectif de l’espace vectoriel de dimension finie KE . On en d´duit que ϕ est un isomorphisme de KE . e En particulier, il existe y dans KE tel que ϕ(y) = 1, c’est-`-dire tel que xy = 1. a Cela signifie que l’inverse de x dans R pour le produit

 i −1 2i   I =  2 0 1 . −1 0 1   Exercice 13 - Matrice inverse et polynˆmes - L1/Math Sup o Soit A la matrice de Mn+1 (C) d´finie par ai,j = e j−i i−1 si i ≤ j, ai,j = 0 sinon. 1. Interpr´ter A comme la matrice d’un endomorphisme de Rn+1 [X]. e 2. En d´duire que A est inversible, et calculer son inverse. e Exercice 14 - Matrice ` diagonale dominante - L1/Math Sup a Soit A ∈ Mn (C) une matrice ` diagonale dominante, c’est-`-dire que pour tout i ∈ {1, . . . , n}, a a

dimension finie n 2. On note GL(E) le groupe (pour la composition des applications) des automorphismes de E et SL(E) l’ensemble des endomorphismes de E de déterminant 1. id E désigne l’application identité de E. On appelle involution de E un automorphisme u de E tel que u 2 = id. E ∗ désigne l’ensemble des formes linéaires de E. On appelle transvection de E tout endomorphisme t de E différent de id E possédant les deux propriétés suivantes : (1) il existe un hyperplan H de E tel que : ∀x ∈ H , t(x) = x

les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0. 1. Montrer que u n’est pas inversible. 2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés. Correction Exercice

tout sous-espace propre pour uA est stable par uB (c’est un r´sultat e du cours). Notons λ1 , . . . , λk les valeurs propres de A deux ` deux distinctes et E1 , . . . , Ek les a sous-espaces propres associ´s. Ej ´tant stable par uB , uB induit un endomorphisme vj sur Ej . e e Or, la restriction ` un sous-espace stable d’un diagonalisable est diagonalisable (autre r´sultat a e du cours) et vj est donc diagonalisable. Il existe une base Bj de Ej form´e de vecteurs propres e pour vj et donc pour uB . De

déduireque E est stablepour le produit matriciel. A-t en fonctionde,4. et 3) ialculer e2.eÀdéduire que Aèst inversible exprimer maintenantl'application rpl qui à toute matriceM de E associe: 4) On considère qe(lut):AMA-'. de a) Montrer gve gt est un endomorphisme E. de que çl estun automorphisme E. b) DéterminerKerrpspuis montrer 5) a) Écrire la matrice Qe de gt dansla base(1,J, K,I), puisjustifier gue Qt est diagonalisable' propresassociés. b) Donner les valeurspropresde q1 ainsique les sous-espaces On

Soit u : E → F une application lin´aire. On suppose e que u est bijective. Alors u−1 est un isomorphisme. D´f. 20. Soit E un K-ev. On appelle endomorphisme de E une application lin´aire de E e e dans E. 2 D´f. et rq. 21. Soit E un K-ev. Soit γ ∈ K. L’application de E dans E qui a x assoe ` cie γx est appel´e homoth´tie de rapport γ. C’est un endomorphisme de E. e e Rq. 22. Soit E un K-ev. Alors l’homoth´tie de rapport 1K est l’identit´ de E, l’homoth´tie e e e de rapport 0K est l’application