Entier

pour le 13 octobre 2011 Exercice Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme Pn par : Pn = ou si on note [n/2] la partie entière de n/2 : [n / 2] n +1  2 k n−2k (−1) k   2k + 1(1 − X ) X  0≤ 2 k ≤ n   ∑ Pn = 1. Vérifier que P0 = 1 ; P1 = 2X ; P2 = 4 X2 – 1 2. Montrer que ∀ n ∈ N, Pn (-X) = (-1)n Pn(X) . ∑ (−1) k =0 k n +1  2 k n −2k   2k + 1(1 − X ) X    et calculer P3. 3. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout réel t : sin ((n+1)t)

4 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = 6 − 5 . x +1 5 points Le but de cet exercice est d’étudier des suites (un ) définies par un premier terme positif ou nul u0 et vérifiant pour tout entier naturel n : un+1 = f (un ) . 1. Étude de propriétés de la fonction f b. Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[[ l’équation f (x) = x. On note α la solution. a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. c. Montrer que

Les Entiers Naturels Un entier naturel est un nombre ≥ 0 qui ne possède pas de décimal après la virgule. Par exemple, le nombre 12. L’ensemble de tous les entiers naturels est représenté par la lettre capitale grasse N. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} Lorsqu’on effectue des opérations mathématiques avec des entiers naturels (addition, soustraction, division, multiplication), il est important de respecter l’ordre des opérations. Les multiplications et les divisons on toujours priorité sur les

question ». Formellement, écrivons : – 0 est un entier naturel. – Si n est un entier naturel, alors n + 1 est également un entier naturel. – Toute propriété possédée par 0 et possédée par n + 1 dès que n la possède, est possédée par tous les entiers naturels. (Principe de récurrence.) C’est là, en l’essence, la définition des entiers naturels selon Peano (axiomes de Peano). On appellera « finie » une quantité (positive)1 qui est inférieure à un certain entier naturel, et, a contrario, « infinie » une quantité

|[pic] | |[pic] entier | | | | |[pic] |[pic]\{0} |[pic] |[pic]\{0} | |[pic] |[pic]\{0} |[pic] |[pic]\{0} | |[pic] entier |

DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 Si « u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit De manière plus mathématique : que la suite ( u n ) a pour limite + ∞ . Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n > M On note lim u n = + ∞ Ex : lim n ² = + ∞ n → +∞ n → +∞ cas 2 Ex : Si les termes u n finissent par être négatifs et « si un est aussi grand que l’on lim ( – n ² ) = – ∞ veut en valeur absolue dès que

pe-cussr COIN REGROUPEMENT I > Aucun. Érnpr r Écoutr ET ANALySE D'uN vTRELANGUE > Dire [e vire[angue suivant : Cinq chienschossent six chats. S'assurer que [es élèves ['aient compris en [eur demandant de Ie reformuler. > Redire [e viretangue en entier et demander aux élèves de [e répéter. Procéder ainsi z fois de suite. > Demander aux étèves de donner leurs impressions. Les amener à dire que [a phrase est difficile à prononcer. Érnpe z nÉpÉrtrtoN ET ARTtcuLATtoN > Pour que les élèves articulent

concentré non sucré est utilisé comme substitut du lait maternel; dans ce cas, on y ajoute de la vitamine D. Enfin, il est utilisé en cuisine, pour Manuel de transformation du lait/Chapitre 16 353 le café, etc. Ce produit est fabriqué avec du lait entier ou du lait écrémé, ou avec du lait reconstitué à partir de poudre de lait écrémé, de matière grasse de lait anhydre et d’eau (voir chapitre 18 - Produits à base de lait reconstitué). Qu’est-ce que le lait concentré ? Le produit obtenu par évaporation

photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 4 ln(0,5) . ln(0,9) ln(0,5) ln(0,5) • ≈ 6,58 ; le plus petit entier n tel que n у ln(0,9) ln(0,9) est 7. Donc les solutions de l’inéquation (0,9)n р 0,5 sont les entiers n tels que n у 7. b) • (1,2)n у 15 équivaut à n ln(1,2) у ln(15). ln(15) On a 1,2 > 1 d’où ln(1,2) > 0 ; on obtient donc n у . ln(1,2) ln(15) ln(15) • ≈ 14,85 ; le plus petit entier n tel que n у ln(1,2) ln(1,2) Les fonctions u et f ont sur ]0 ; 4[ même sens de variation ; on peut conclure

ln(2α) + 1 = α. 2 Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = ln(2un ) + 1. On désigne par Γ la courbe d’équation y = ln(2x) + 1 dans un repère orthonormal (O ; i, j). Cette courbe est donnée ci-dessous. y 4 Γ 3 2 1 C j –1 O i 1 2 3 4 5 6 7x –1 –2 –3 a) En utilisant la courbe Γ, construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un u n+1 3. c) Démontrer que la suite (u n ) converge