Entier

noms, dans d'autres langages (pratiquement tous), comme Java (HashMaps), Smalltalk, Lua (tables), ou Ruby (hashes). Rappelons (pour ces oiseaux rares qui lisent ces notes) que les dictionnaires sont des tableaux indexés par d'autres choses que les entiers, par ex. par des chaînes, ou des tuples : A["dog"] → "chien" ;d[1,7] = 666, etc. (Ici d[1,7] équivaut d[(1,7)], l'indice est un tuple). Les indices dans ce domaine s'appellent des clés et peuvent être hétérogènes (de types différents dans le même

7, 8, 9. La lettre a représente un de ces chiffres. On note aaa le nombre entier naturel qui s’écrit avec trois chiffres égaux à a et de même a7 le nombre entier naturel dont le chiffre des unités est 7 et celui des dizaines est a. Exemple. Pour a = 5, aaa = 555 et a7 = 57. Déterminer a de telle sorte que aaa = a × a7. On justifira la réponse en résolvant une équation du second degré. Exercice 3. On considére pour chaque entier naturel n, l’entier P (n) = n4 + n2 + 1. On se demande si P (n) est un nombre

EXERCICES MPSI II. 1) NOTATIONS R. FERRÉOL 13/14 A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME ET 1. : Sommes des puissances p-ièmes des n premiers entiers. n n n n n(n + 1) Posons : an = k= ; bn = k2 ; cn = k3 ; dn = k4 . 2 k=1 k=1 k=1 k=1 n (a) En remarquant que cn+1 = 3 (k + 1) , montrer que cn+1 = cn + 3bn + 3an + n + 1 ; en déduire la valeur de bn . k=0 (b) Montrer de même que dn+1 = dn + 4cn + 6bn + 4an + n + 1 ; en déduire la valeur de cn . 2 n (n + 1) (2n + 1) n(n + 1) ; cn = Rep : bn = 6 2

de f en + et - . b) Montrer que la droite D d’équation y= est asymptote à C. c) Calculer la dérivée de f . 2.  (candidat de spécialité svt ou physique) Soit u la suite définie par )) pour tout entier naturel n. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2 ≤ un ≤4. (on pourra utiliser la fonction f définie par f(x) = 4 – ) b) Démontrer par récurrence que u est croissante. c) En déduire que u est convergente et déterminer sa limite. Ex 2 : (candidat

nous noterons n! le produit 1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit s'appelle "factorielle n". On convient que 0! = 1. Exercices sur les factorielles : · Démontrer que 6! ´ 7! = 10! (sans calculer 10!) (n + 1)! n! · Démontrer que tout entier k : · Simplifier Puis que pour tout entier n non nul : (k + 1)! - k! = k ´ k! n! = 1 + å kk ! k =0 n -1 1. Principes de base du dénombrement On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini E, noté Card(E), représente son nombre d'éléments. Par exemple avec

Traitement : Sortie : www.math93.com / www.mathexams.fr k et n sont des nombres entiers naturels. s est un nombre réel. Demander à l’utilisateur la valeur de n. Affecter à s la valeur 0. Pour k allant de 0 à n − 1 | Affecter à s la valeur s + n1 f nk . Fin de boucle. Afficher s. 3/11 Correction Bac S Obligatoire - Métropole - Septembre 2013 On note sn le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n. 3. a. Justifier que s3 représente

de la boucle lorsque F1(x) у k. b) x 0 1 2 3 4 F1(x) 7 14 25 40 59 La valeur affichée par le programme est x = 4. c) k étant donné, le programme affiche le premier entier naturel x pour lequel F1(x) у k. Par exemple, pour k = 50, x = 4 est le premier entier naturel pour lequel F(x) у 50. d) On saisit le programme à l’ordinateur ou à la calculatrice. On obtient : – pour k = 100, x = 6 ; – pour k = 500, x = 15 ; – pour k = 1 000, x = 22. a) Avec AlgoBox

fini non vide de cardinal n et soit p un entier naturel. On a déjà vu que si p > n, on a  = 0 (démonstration 2) Considérons la proposition P(n) : pour tout entier p tel que 0 £ p £ n, on a  = prenons n = 1 alors pour p = 0 on a = = 1 (il est convenu que 0! = 1) et  = 1 pour p = 1 on a = = 1 et  = 1 Donc la proposition P(1) est vraie. Supposons que la proposition P(n) est vrai pour un entier fixé n ³ 1 . Démontrons qu'alors la proposition

THEME : NOMBRE PAIR NOMBRE IMPAIR Les nombres utilisés dans ce chapitre sont des entiers naturels ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , …. ) Définition : Un nombre pair est un multiple de 2. Exemples : 0 , 2 , 4 , 16 , 10 248 sont des nombres pairs Remarque : Un nombre pair se termine nécessairement par 0 , 2 , 4 , 6 ou 8. Tous les nombres pairs sont dans la table de multiplication du 2. Le double d’un nombre est toujours pair. Remarque : Dire qu’un nombre est un multiple de 2 signifie également que ce nombre

10−2 × 5 3 1 2 1 3 B= C= A= + × + 1 4 4 3 3 10−1 3+ 4 Exercice 2 Écrire D sous la forme a b où a et b sont deux nombres entiers. D= 3 12 + 27 − 5 3. Exercice 3 E = (2x − 3)2 − 3(2x − 3). 1. Développer E . 2. Factoriser E . 3. Résoudre l’équation (2x − 3x)(2x − 6) = 0. 4. Calculer E pour x = 2. (on écrira le résultat sous la forme a − b 2 où a et b sont deux nombres entiers). Exercice 4 1. Calculer le PGCD de 696 et 406. 406 irréductible. 2. Rendre la fraction 696 A CTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES