Entier

suite v est croissante et convergente. b) La suite v est décroissante et convergente. c) La suite v est monotone et divergente. d) La suite v est non monotone et convergente. 3. Soit f la fonction définie sur IR par [pic] et k un entier relatif. a) La fonction f est continue et dérivable en k. b) La fonction f est continue et non dérivable en k. c) La fonction f est non continue et dérivable en k. d) La fonction f est non continue et non dérivable en k.

CANDIDATS Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.  On note  le capital du client au 1er janvier de l'année , où  est un entier naturel.  1. Calculer  et . Arrondir les résultats au centime d'euro.  2. Exprimer  en fonction de . En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a la relation : . 3. On donne l'algorithme suivant :   Entrée      Saisir un nombre  supérieur à 3 000   Traitement      Affecter à  la valeur 0. (Initialisation) 

Devoir a la maison n°3 ` Correction ⊲ Exercice 1 Inégalité de Bernoulli Démontrer que pour tout entier naturel n et tout réel x > −1, on a (1 + x)n 1 + nx. Soit x ∈ ]−1 ; +∞[, montrons par récurrence sur n ∈ l’hypothèse de récurrence Hn : Pour tout n ∈ , (1 + x)n 1 + nx. x Initialisation : Montrons que H0 est vraie. On a (1 + x)0 = 1 et 1 + 0 × x = 1 donc (1 + x)0 1 + n0 × x et H0 est bien vraie. y Hérédité : Soit n ∈ , on suppose que l"hypothèse de récurrence est vraie jusqu’au rang n. On

1, un  1; 2 Démonstration par récurrence Soit Pn : 1  un  2 . Montrons que : a) P1 est vraie b) n  1,  Pn  Pn1   Pour a) : Initialisation (pour n  1 ) On a bien 1  u1  2 (Car u1  1 par hypothèse)  Pour b) : Hérédité Soit n  1 un entier naturel vérifiant 1  un  2 Montrons que : 1  un1  2 Donc : f (1)  f (un )  f (2) (Car, d’après le 1°) f est strictement croissante sur  2;  ) Donc : On a : 1  un  2 3  un1  2 Donc : 1  un1  2 (Car : 3  1 ) b) n  1, un

est une série divergente (série de Bertrand). On admettra (sans démonstration), que la série n ln n 1. PRÉLIMINAIRES 0.1 Montrer que, si (a n ) est à variations bornées alors (a n ) est convergente. 0.2 Prouver l’égalité, valable pour tout entier N : N N n dn = n =1 b n − Nb N+1 . n=1 PARTIE I Dans cette partie, (a n ) est une suite réelle. I.1 Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur la suite (b n ) , pour que la suite (a n ) soit convexe. I.2 On suppose

décimaux, ce qui les conduit à des erreurs systématiques qui, pour la plupart, sont bien connues des maîtres. Lors de l’évaluation d’entrée en 6e de 1993, par exemple, on demandait quel est le plus grand de ces deux nombres : "6987 et 6879". Avec ces entiers, 87% des élèves ont réussi. La même question avec les décimaux "1,015 et 1,05" n’a conduit qu’à 52% de réussite. Un tiers des élèves ont écrit que 1,015 est plus grand que 1,05. Vraisemblablement parce qu’ils ont comparé 15 et 5 sans se préoccuper

Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C . 2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale I n définie par In = 1 0 5 points x n e1−x dx. a. Établir une relation entre I n+1 et I n . b. Calculer I1 , puis I2 . c. Donner une interprétation graphique du nombre I2 . On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c. 3. a. Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité suivante : xn x n e1−x x n e.

z0 = 6 + 6i d’image A0 . Pour tout 4 4 entier n non nul on désigne par An le point d’affixe zn = a n z0 . 1. Exprimer z1 et a 2 sous forme algébrique. Ecrire z1 sous forme exponentielle et montrer 1 iπ que a = e 6 . 2 2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et a 2 , en déduire l’expression de z3 et z7 en forme exponentielle. 3. Placer les points A0 , A1 , A3 , A7 , images respectives de z0 , z1 , z3 , z7 . 2 4. On pose maintenant, pour tout entier naturel n, zn = rn . Montrer que, pour tout

feature=player_embedded&v=GfXJfVPm0mQ 1) Définition Soit n un entier positif non nul et a un nombre relatif non nul : On appelle ? ???????? ? le nombre noté ? n désignant le produit de n facteurs égaux à ? : ?n =? ×? ×? × … ×? n fois L’inverse du nombre an se note a-n, on a : ? Cas particuliers : ? = ? 1 et a-1 = -n = 1 ?n 1 ? Par convention, on a : ? = 1 0 2) Propriétés (voir savoir-faire 1 page 55 du livre) Soient ? et b deux nombres relatifs non nuls et n et p deux entiers relatifs. ? n × ? p = ? n+p ?? = ??

Orthographe lexicale - Écrire sans erreur les mots mémorisés et régulièrement révisés, en particulier les mots invariables acquis aux CP et CE 1, des mots fréquents, des mots référents pour des sons. A MATHEMATIQUES NOMBRES ET CALCUL Les nombres entiers naturels - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. A Effectuer un calcul posé - Addition, soustraction et multiplication. - Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé, où à l'aide de la calculatrice. A A Les problèmes