Entier

1. Les nombres entiers a) On peut compter des objets : 0 (il n’y a pas d’objet ` compter), 1, 2, 3, 4, .... C’est ce qu’il y a de plus a naturel. On appelle ces nombres les entiers naturels. b) Un ascenseur peut descendre dans les sous-sols, la temp´rature descend en dessous de 0 C, on plonge en e ˚ dessous du niveau de la mer, . . . On introduit ainsi les nombres n´gatifs tels que : -1, -2, -10, -300, ... e Les entiers n´gatifs et positifs forment l’ensemble des nombres entiers relatifs. e Un nombre

0 2 f (x) dx = e−x dx 1 0   pour tout entier naturel n non nul, u =  n x n f (x) dx = 1 0 x n e−x dx 1 e f (x) 1. 2 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], b. En déduire que 1 e u0 1. un . 2. Calculer u 1 . 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 b. Étudier les variations de la suite (u n ). c. En déduire que la suite (u n ) est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n b. En déduire la limite de la suite

Exercice Partie A On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An +1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3). 1) Sur un graphique, placer les points A1, B1, A2, B2. 2) On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn. 2a + bn . Montrer

vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de

message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l’alphabet, on commence par associer un entier n de l’ensemble Ω = {0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 24 ; 25} selon le tableau ci-dessous : A 0 N 13 B 1 O 14 C 2 P 15 D 3 Q 16 E 4 R 17 F 5 S 18 G 6 T 19 H 7 U 20 I 8 V 21 J 9 W 22 K 10 X 23 L 11 Y 24 M 12 Z 25 a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de Ω le reste de la division euclidienne de (an + b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante

donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0; +∞[ de l’équation f (x) = k. 1 2) n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation f (x) = n admet deux solutions distinctes. B - Définition et étude de deux suites 1) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet deux solutions n 0 1 1 +∞ 1 2 un et vn respectivement comprises dans les intervalles [0; 1] et

u0 = −1, u1 = 1 1 et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 − un . 2 4 5 points 1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un ) n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. On définit la suite (v n ) en posant, pour tout entier naturel n : 1 v n = un+1 − un . 2 a. Calculer v 0 . b. Exprimer v n+1 en fonction de v n . c. En déduire que la suite (v n ) est géométrique de raison d. Exprimer v n en fonction de n. 3. On définit la suite (w n ) en posant, pour tout entier naturel n : wn = a. Calculer w

zM – zA = AM i π par passage aux arguments : arg [(z’ + 2i)(z – i)] = arg (z’ + 2i) + arg (z – i) = arg 1 = k × 2π où k est un entier relatif. → → arg (z’ + 2i) = arg (zM’ – zB) = ( u ,BM’) → → et arg (z – i) = arg (zM – zA) = ( u ,AM) Donc Soit ( u ,BM’) + ( u ,AM) = k × 2π où k est un entier relatif. ( u ,BM’) = – ( u ,AM) + k × 2π où k est un entier relatif π → → → → → → → → 4. a) E est le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct donc

3 : ( ) ( ) ( ( ) )) ( ) ( ) ) ( ( (( ) Exercice 4 : Donner la négation mathématique des phrases suivantes 1. Toutes les boules contenues dans l’urne sont rouges. 2. Certains nombres entiers sont pairs. 3. Si un nombre entier est divisible par , alors il se termine par . Soit 4. est positive, c’est-à-dire « , ( ) » ( ) ( )» 5. est paire sur , c’est-à-dire « , Aller à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Soient les propositions, ( ) « J’ai

d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Comportement à l’infini de la suite (q n), q étant un nombre réel.  Démontrer que la suite (q n), avec q 1,  a pour limite + . On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : • Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique. On peut étudier des situations où intervient la limite de la somme des premiers termes d’une suite géométrique. • Utiliser le théorème de convergence des suites croissantes