Espace euclidien

Activité   QCM  :  Vérifier  les  acquis   Objectifs   -­‐ Revoir  les  positions  relatives  de  plans  et  droites  (vues  en  seconde)   -­‐ Revoir  quelques  notions  sur  les  vecteurs  (vues  en  seconde)     Premières  définitions  et  propriétés   • Une  droite  de  l’espace  est  définie  de  façon  unique  par  deux  points  distincts  de

Durée de l’épreuve : 2 heures. SUJET A DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES Janvier 2010 Le sujet comporte quatre exercices. Les calculatrices sont autorisées. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Exercice n°1 : Thèmes abordés : fonctions : problème, Pythagore, lectures graphiques, calcul algébrique : Partie A : Etude d’une situation géométrique Sur la figure ci-contre : les droites (AB) et

ajoutant 7. b) Remarque : la condition : « SI (N==2*floor(N/2)) ALORS » peut être remplacée par « SI (N%2==0) ALORS ». Les deux conditions sont remplies dès que N est pair (floor renvoie la partie entière, et x%y donne le reste de la division euclidienne de x par y). 33 a) Pour autoriser au plus 6 coups, il suffit de remplacer c<=5 par c<=6 dans la ligne TANT_QUE… b) On remplace les deuxième et troisième lignes de l’algorithme par : N PREND_LA_VALEUR floor(10*random())+1 TANT_QUE (a!=N et c<=3)

Correction exercice 19 Exercice 20. Déterminer le reste de la division euclidienne de (? + 1)? par ? 2 + 1. Allez à : Correction exercice 20 Exercice 21. Quel est le reste de la division euclidienne de ? = ? ? + ? + 1 par ? = (? − 1)2 ? Allez à : Correction exercice 21 Exercice 22. Quelle est le reste de la division euclidienne de ? ? par (? − 1)2 Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23. Soit ? ∈ ℝ[?] le reste de la division euclidienne de (? + 1)? par (? − 1)2 . Déterminer ?. Allez à : Correction exercice

créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme

. . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le compl´ment de Schur ; ses factorisations associ´es e e 1.4 Les matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Noyaux, images et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Quelques aspects euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les matrices d´finies-positives (>>0) . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 9 12 13 14 15 2 Les op´rateurs de projection et sym´trie orthogonale e e 18 2.1 Projection orthogonale sur un

Table des matières 1 2 3 Espaces affines 1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Proprièté du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de points 1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . 1.2.4 Parallélisme

D C I J A B m 1. Étudier un barycentre Soit C le barycentre du système { ( A ; m ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) }. D’après l’associativité du barycentre, C est aussi le barycentre du système { ( A ; m ) ; ( I ; 2 ) } car I est le milieu du segment [ BD ] . On a donc l’égalité suivante mCA + 2CI = 0 . Or I est le milieu du segment [ CA ] , d’où mCA = 2mCI et ainsi 2mCI + 2CI = 0 . www.annabac.com © H A T I E R 2009 on a donc ( 2m + 2 ) CI = 0 d’où 2m = – 2 m = – 1 car CI ≠ 0

et le reste de P par X − 1. e b) D´terminer a et b de fa¸on que A = aX n+1 + bX n + 1 soit divisible par (X − 1)2 . e c c) Soient λ et µ les restes des divisions euclidiennes de A par X − a et X − b. Calculer le reste de la division euclidienne de A par (X − a)(X − b) en fonction de λ et µ. d) Trouver le reste de la division euclidienne de P (X) = (X sin(α) + cos(α))n par X 2 + 1. Factorisation Exercice 26. Factoriser le polynˆme : o n k=0 n sin(kθ)X k k Exercice 27. Trouver les racines

a) Dresser un arbre de probabilité b) Calculer la probabilité pour que l’automobiliste rencontre i) Deux feux verts. ii) Au moins un feu vert. Ex 2 : (candidat de spécialité Maths) c) Quel est le reste dans la division euclidienne de 2341 par 7 ? d) i) Ecrire l’algorithme d’Euclide pour déterminer PGCD(145 ;55) ii) Déterminer un couple (u,v) d’entiers relatifs tels que 145u+55v= PGCD(145 ;55) |BAC Série S - Oraux