Formule des probabilités totales

tableau ci-dessous donne le nombre de jetons du jeu pour chacune des voyelles : Lettres du jeu Effectif A 9 E 15 I 8 O 6 U 6 Y 1 On choisit au hasard une lettre de ce jeu. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir la lettre I ? 2. Que11e est la probabilité d’obtenir une voyelle ? 3. Que11e est la probabilité d’obtenir une consonne ? Exercice 3 On considère la fonction f définie par : f (x) = −5x + 1 1. Calculer l’image de −3 par f . 2. Calculer l’antécédent de 4 par f . Exercice 4 Cet exercice est

. . . . . . . . 31 Calcul de n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 n p Propriétés des coefficients du binôme, formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 33 Quelques propriétés des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 37 Produit scalaire dans le plan et l’espace Rappels sur le produit scalaire

Terre par l’intermédiaire d’une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c’est-à-dire sans carburant ni satellite, de 40 tonnes. L’éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s’élever dans les airs jusqu’à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d’éjection des gaz est Ve = 3200m · s−1 . La vitesse finale de la fusée, vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ

Veysseyre Aide-mémoire Statistique et probabilités pour l’ingénieur 2e édition © Dunod, Paris, 2001, 2006 ISBN 2 10 049994 7 TABLE DES MATIÈRES Principales notations XI A Statistique descriptive 1 • Représentation graphique et numérique des données 1.1 1.2 1.3 Généralités et principales définitions Séries numériques à une dimension Séries numériques à deux dimensions 3 3 7 26 c Dunod – La photocopie non autorisée est un délit B Calcul des probabilités 2 • Le modèle probabiliste 2.1 2.2 2

CONDITIONNEMENT INDEPENDANCE 1°) Probabilité conditionnelle 1-1 Exercice Dans un lycée de 1000 élèves , 45 % des élèves sont des filles , 55 % des garçons . Parmi les filles , 30 % sont des internes et 70 % des externes Parmi les garçons , 60 % sont internes et 40 % externes a) Représenter cette situation par un arbre b) Calculer la probabilité de tirer , dans le fichier élève de tous les élèves du lycée ,  une fille externe  un élève externe c) On tire le fichier d’un élève et on constate qu’il

et 7,6 19 Comparer les observations à la population ou à une hypothèse 19 Avertissements 20 Sommaire 20 Comparaison de moyenne d'un groupe avec la population 21 Formules mathématiques 21 Seuil de signification 22 Exemple 23 Comparaison du pourcentage d'un groupe à la population 25 Formules mathématiques pour le pourcentage 25 Exemple 26 Comparaison de la moyenne d'un groupe avec celle d'une population avec un logiciel 27 Interprétation des résultats 28

aléatoire) ou la chance. Il est plus complexe, prend plus de temps et est habituellement plus coûteux que l'échantillonnage non probabiliste. Toutefois, comme les unités de la population sont sélectionnées au hasard et qu'il est possible de calculer la probabilité d'inclusion de chaque unité dans l'échantillon, on peut, grâce à l'échantillonnage probabiliste, produire des estimations fiables, de même que des estimations de l'erreur d'échantillonnage et faire des inférences au sujet de la population. Il existe

suite constante cherchée est donc . III. Graphes et marches aléatoires 1) Graphe Dans une équipe de football, on étudie les passes que se font trois attaquants A, B et C. Les probabilités qu'un attaquant passe le ballon à un autre sont représentées sur le schéma suivant. Par exemple, la probabilité que l'attaquant A passe le ballon à l'attaquant B est égale à . Un tel schéma est appelé un graphe. A, B et C sont appelés les sommets du graphe. 2) Marche aléatoire On considère

ECS1 Corrigé du Devoir Surveillé 5 Exercice 1 : 1. Cette série est une série à termes positifs. Considérons la somme partielle de rang n ∈ N∗. Sn = n∑ k=1 k2+2 3k = n∑ k=1 k2(13)k + 2 n∑ k=1 (13)k par linéarité. Sn = n∑ k=1 (k(k − 1) + k)(13)k + 2( n∑ k=0 (13)k − 1) Sn = 1 9 n∑ k=2 k(k − 1)(13)k−2 + 1 3 n∑ k=1 k(13)k−1 + 2( n∑ k=0 (13)k − 1) On reconnaît des sommes partielles associées à des séries géométriques et géométriques dérivées d'ordre 1 et 2 toutes convergentes puisque |13 | < 1. Ainsi

’intervalle de temps [t1,t2] Ws (t1 , t 2 ) = ∫ s (t )dt 2 t1 t2 Energie d ’un signal discret x(n) sur l ’intervalle [n1,n2] n2 Ws (n1 , n2 ) = ∑ s (n) 2 n = n1 10 Autres grandeurs Puissance moyenne sur [t1,t2] Energie totale Puissance moyenne totale Px(t1,t2)= 1 ∫ x2(t)dt t2−t1 t1 t2 Wx = ∫ s 2 (t )dt −∞ +∞ 1 2 Px = lim ∫/ 2x (t )dt T →∞ T −T 11 T /2 Rapport signal/bruit La qualité d ’un signal est souvent représentée par le Rapport Signal/Bruit ou RSB (SNR