LIM

et asymptotes lim x↓2 f(x) = √ −32 0− =∞; asymptote verticale simple x = 2 lim x →±∞ f(x) = lim x →±∞ √ −4x2 −1 + 2 x =∞; aucune asymptote horizontalehttps://www.deleze.name/marcel/mathematica/etude-fonctions/fonctions-irrationnelles/index.htmlÉtude d’une fonction irrationnelle - Corrigé de l’exercice i2-03 2 a1 = lim x →∞ f(x) x = lim x →∞ |x| x √ −4x −x + 2 = lim x →∞ √ −4 −1 + 2 x = 2 a2 = lim x →−∞ f(x) x = lim x →−∞ |x| x √ −4x −x + 2 = lim x →−∞ (−1) √ −4 −1 + 2 x = −2 b1 = lim x →∞ (f(x)−

borne supérieure s.3 2 Comme u2 = 5 4 ∈ A alors ce majorant est en fait un maximum de A d’où s = 5 4 . lim n→+∞ 1 2n = 0 =⇒ ∀ε >,∃n0, ∀n ≥ n0, 1 2n < ε. Donc pour tout ε > 0, il existe un entier impair m tel que 1 2m < ε. On a alors : −1 ≤ 1 2m + (−1)m < ε− 1, par caractérisation de la borne inférieure, i = −1. Exercice 3 1 Pour les suites (un)≥1 suivantes, déterminer lim un et lim un : a un = (−n)−n, (0,75 pt) b un = ( 1 + sin ( nπ 2 )) 1 n . (0,75 pt) 2 étudier la nature de la suite

« Pour se tester » 29. Questions sur le cours a) Si q > 1, alors lim qn = +∞. c) Une suite telle qu’il existe un nombre M supérieur à tous les termes de la suite est dite majorée et le nombre M est un majorant de la suite. d) Toute suite croissante et majorée est convergente. e) Toute suite décroissante non minorée a pour limite –∞. f) (u n ) et (v n ) sont deux suites. Si pour tout entier n, n ≥ n 0 , u n ≤ v n et lim u n = +∞, 30. Vrai ou faux a) Faux : La suite 1 ; –1 ; 1 ; –1 ;

( e x + 2e – x ) . ⎧ lim e x = + ∞ ⎪x → + ∞ On a ⎨ ⎪ lim e – x = lim e X = 0 en posant X = – x . X → –∞ ⎩x → + ∞ Par somme, on en déduit que lim ( e x + 2e – x ) = + ∞ . x → +∞ Or X → +∞ lim lnX = + ∞ d’où x → +∞ lim ln ( e x + 2e – x ) = + ∞ . © H A T I E R 2009 www.annabac.com • D’après le résultat établi dans la question précédente, on a pour tout x : f ( x ) – x = x + ln ( 1 + 2e – 2x ) – x f ( x ) – x = ln ( 1 + 2e – 2x ) . On a lim e – 2x = lim x → +∞ x → +∞ x → +∞

converge si et seulement si la suite (Sn ) converge. Dans ce cas on appelle somme de la série sa limite que l’on note S = lim Sn = n!1 1 P (2.3) Un n=0 On dit que la série de terme général (Un ) diverge si la suite (Sn ) diverge ( lim Sn = 1 ou n!1 n’existe pas). 1 Exemple2.1 1 1 1 1 Soit Un = ; Sachant que = n(n + 1) n(n + 1) n n+1 on a n X 1 1 1 Sn = ( )=1 k k+1 n+1 k=1 D’où lim Sn = 1 ) la série est convergente. n!1 Soit Vn = p 1 p : En notant que n+1+ n p Vn = n + 1 p n; On montre que

g     0 ","  ".   "  ","0  "," 0    2. Limites et inégalités Si f  g et lim g(x)   alors lim f (x)  . xa xa xa xa Si f  g et lim g(x)   alors lim f (x)  . Si u  f  v et lim u(x)  L , lim v(x)  L alors lim f (x)  L (théorème des gendarmes).     xa xa Si f  L  u et lim u(x)  0 alors lim f (x)  L .   xa xa Remarque : les résultats marchent encore lorsque l’inégalité n’est vraie seulement

plus bas sur l’axe des ordonnées. On conjecture que lim ln ( x ) = – ∞ . x→0 B. Corrigé a) Faux : lim 2x – 1 = 0 et lim ln ( X ) = – ∞ , 1 x → ---2 X→0 donc lim f ( x ) = – ∞ (limite de fonctions composées). 1 x → ---2 b) Faux : lim 2x – 1 = + ∞ et x→+∞ x→+∞ 2. a) • ln ( 100 ) ≈ 4,6 • ln ( 10 7 ) ≈ 16,1 • ln ( 9 × 10 99 ) ≈ 230,1 . x→+∞ • ln ( 100 000 ) ≈ 11,5 • ln ( 15 × 10 13 ) ≈ 30,3 X→+∞ lim ln ( X ) = + ∞ , donc lim f ( x ) = + ∞ (limite de fonctions composées). 1

entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ n + 1 fn (x) donc ∆ = R. ∞ xn Exemple 2 : . n2 n=1 fn+1 (x) xn n 2 Posons fn (x) = 2 on a : lim = lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) Si |x| < 1, la série est absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. ∞ |x|n 1 xn on

valeur d’adhérence de la suite {an } s’il existe une sous-suite {ank } de {an } convergente vers c. • Soit S l’ensemble de toutes les valeurs d’adhérence de {an }. La limite inférieure, lim an , et la limite supérieure, lim an , sont définies comme n→+∞ n→+∞ suit : ⎧ ⎪ ⎨+∞ lim an = −∞ n→+∞ ⎪ ⎩ sup S ⎧ ⎪ ⎨−∞ lim an = +∞ ⎪ n→+∞ ⎩ inf S • Un produit infini +∞ si {an } n’est pas majorée, si {an } est majorée et S = ∅, si {an } est majorée et S = ∅, si {an } n’est pas minorée, si {an } est minorée

parcouru une distance nulle !!! Comment faire ? On peut réduire l’intervalle et mesurer l’espace parcouru entre 3h et 3h 1min ou mieux entre 3h et 3h 1 seconde … Mathématiquement passage à la limite : cette opération est un 200 km vitesse à 3h = lim u →0 position à (3h + u ) − position à 3h u C’est cette idée qu’on va exploiter pour définir le nombre dérivé d’une fonction 2 3 3+u 4 t ( en heures ) D Nombre dérivé d’une fonction en a . Dans ce paragraphe, nous étudions une fonction