LIM

proposées est exacte, laquelle ? 1) L’ensemble de définition de ? est : a) ℝ 2) lim?→+∞ ?(?)=? b) ℝ∗ c) ℝ ⃥{2} a) +∞ b)−∞ c) 0 3) lim?→−∞ ?(?)=? a) +∞ b)−∞ c) 0 4) lim?→2+ ?(?)= ? a) +∞ b)−∞ c) 0 5) lim?→2− ?(?)=? a) +∞ b)−∞ c) 0 6) La droite D est une asymptote oblique à C au voisinage de ±∞ ,l’équation de D est : a) y=2x-1 b) y=2x+1 c)y=2 7) lim?→±∞ (?(?) − 2? − 1)= ? a) +∞ b)−∞ a)Horizontale b) Verticale c) 0 8)

asymptotique de e ` Cf . • Deux courbes repr´sentatives Cf et Cg sont dites asymptotes en l’infini si : e lim [f (x) − g(x)] = 0 (ici ∞ d´signe +∞ ou −∞ ). e x→∞ e • Si x→a f (x) = ∞, la courbe Cf admet une asymptote verticale d’´quation x = a. lim Exemple : Consid´rons les fonctions d´finies par: e e f : x → x2 (1 + e−x ) g: x → x2 Cf et Cg sont asymptotes en +∞, car lim (f (x) − g(x)) = lim x2 e−x = 0. x→+∞ x→+∞ Si f est une fonction donn´e, on s’int´resse plus particuli`rement aux droites

terminer, appliquons la simplification de f (x ) à un calcul de limites : • lim f (x ) = lim− (−9x + 17) = −18 + 17 = −1 , x →2− • x →2 lim f (x ) = lim+ (11x − 23) = 11 ⋅ 2 − 23 = −1 , x →2+ • x →2 Donc : lim f (x ) = −1 . x →2 De même : • lim f (x ) = lim− (11x − 23) = 11 ⋅ 3 − 23 = 10 , x →3− • x →3 lim f (x ) = lim+ (9x − 17) = 9 ⋅ 3 − 17 = 10 , x →3+ • x →3 Donc : lim f (x ) = 10 . x →3 Exercice résolu 4. (1) Quel est le domaine de

+ 8 × 8 × 4 × Chapitre 1 : Suites 5493_9782011821201_Prof.indd 7 7 25/06/12 12:34 e) D’après les résultats sur la limite d’une suite géométrique, le réel n 8 étant strictement supérieur à 1, on 3  8 a : lim   = + ∞ . On en conclut que : lim pn = + ∞ . n→ + ∞ n → + ∞  3 Puisque la suite (pn) tend vers + ∞, quelque soit le nombre P choisi, il existe un rang au-delà duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à P. Donc il existe un rang au-delà duquel tous les

fonction f(x) = ex : III- 1- ex est strictement croissante. 2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ 3- lim ex = + ∞ . +∞ lim 0 en −1 = 1. h x lim e = 0. −∞ Exercice: 1- Simplifier les expressions suivantes: a- ex . e-2x b- (e2x)2 . (e-3x)4. c- (ex + e-x)2 – (ex – e-x)2. 2- Soit la fonction : x f(x) = a- Calculer lim f(x) −∞ © www.e-tahero.net – Z.M.F ex −1 . ex +1 et lim f(x). +∞ 3- Calculer lim ( 0 Solution: e −1 ). 3x 1- a- ex.e-2x = e-x. b- (e2x)2 . (e-3x)4 = e4x . e-12x = e-8x

(x D ) (0 x h f (x) e) ونكتب x 0 lim f (x) 0   ملاحظة:  x 0 x 0 lim f (x) 0 lim f (x) 0      2) خاصیة: * n x 0 x 0 ( a ) ( n ) lim ax lim a x 0   .        3) خاصیة: وكان (x  I) f (x) u(x) بحیث o مركزه I إذا وجد مجال مفتوح منقط x 0 lim u(x) 0  فإن  x 0 lim f (x) 0  .  4) تعریف: .a دالة عددیة معرفة على مجال مفتوح منقط مركزه f لتكن إذا وفقط إذا كان: a إلى x عندما یؤول l ھي f نقول إن نھایة x a lim f (x) l  .  5) ملاحظات: فإن ھذه النھایة

pour tout n 1, un = ( √ − 3)(n2 + 5n). n 1 1 lim √ = 0, donc lim √ − 3 = −3. n n lim n2 = +∞, et lim 5n = +∞. Donc par somme, lim n2 + 5n = +∞. 1 Par produit, lim( √ − 3)(n2 + 5n) = −∞. n lim un = −∞. 2. pour tout n Pour tout n 0, un = 1, 2n − n2 . 3n2 + 1 2n − n2 3n2 + 1 2 n2 ( − 1) n = 1 n2 (3 + 2 ) n 2 −1 = n 1 3+ 2 n un = 2 − 1 = 0 − 1 = −1. n 2 Et lim 3 + 2 = 3 + 0 = 3. n 1 Par quotient, lim un = − . 3 √ 4 n + sin(n2 ) . 3. pour tout n

droite asymptote en +∞. c. Pour tout x ∈ D, on a : f ( x) < x . 2 d. Pour tout x ∈ D, on a : f '( x) = 1 2 + . 2 x(ln x)2 Correction a. Faux : On doit avoir x ≠ 1 et x>0 donc D= ]0, 1[∪]1, + ∞[ . b. Vrai : lim f ( x) = +∞ − 1 x x = +∞ et lim f ( x) − = 0 donc y = est asymptote de C. x →+∞ +∞ 2 2 x →+∞ c. Faux : f ( x) < x 1 si − < 0 , soit ln( x ) > 0 donc quand 2 ln( x ) x >1⇒ x >1. ' u' x 2 1 d. Vrai : Rappelons que   = − et remarquons

= u1 . 1 – qn / 1 – q 3)Les limites: lim = réel / 0 = ?∞ ETUDE DE SIGNE x→a exemple : lim -x2 / 3 – x = -9 / 0 = ?∞ x→3 3 3 - x + 0 - Attention : avec un premier degré il faut toujours mettre son signe de x après la racine. Avec un deuxième degré, il faut mettre le signe de x avant et après les racines et entre son signe opposé. Lim f(x) = -9 / + = - ∞ x→3 G Lim f(x) = -9 / - = + ∞ x→3 D lim = 0 / 0 = CI x→a =>

¢ présente une discontinuité en 0. II.1. Au vu de la courbe, la fonction h semble continue mais pas dérivable sur ‫( ޒ‬problème en 1). - x - 1 si x < 1 2. a. m (x) = x - 1 si x > 1 { 2. a. On utilise une règle des signes. b. lim m (x) = - 2 et lim m (x) = 0. b. On utilise la quantité conjuguée (ou une résolution d’équation). c. Les deux « droites limites » de la droite (AM) (à gauche et à droite de 1) sont donc distinctes : il n’y a pas de tangente en 1. c. On réduit au