LIM

de la manière suivante : pour tout nombre réel x, on note arctan x l’unique solution dans − π , π de l’équation d’in2 2 connue t : tan t = x. La représentation graphique de la fonction π π arctan : R → − , 2 2 est donnée ci-dessous. Comme lim arctan(x) = − π et lim arctan(x) = π , les deux asymp2 2 totes d’équations respectives y = x→−∞ π et 2 pour tout x dans R : arctan (x) = 1 . 1 + x2 y = − π sont également représentées. On retiendra que, 2 x→+∞ Fig. 1.2 – Courbe de la fonction arc

croissante sur < , /=! -> 0 ! lim x − 2 = 0 Avec x-22 d’où par quotient lim → H → = +∞ ! lim → I → = −∞ 4. a. Déterminer toutes les asymptotes de la courbe représentative de f. (on montrera bien que les asymptotes données sont les seules !) La fonction f est définie sur D= ℝ\{−1 ; 2} Donc la courbe représentative de f ne peut admettre des asymptotes qu’en -∞, -1, 2 et +∞ Or lim → = 0 donc la courbe n’a pas d’asymptote au voisinage de 0 De plus lim = +∞ ! lim = −∞ JK=L la courbe admet

h tend vers 0, cet accroissement admet pour limite un réel l, alors on dit que la fonction f est dérivable en a. df Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f '(a) (ou parfois (a) ) dx f ( a + h) − f ( a ) On a f '(a) = lim t (h) = lim h→0 h →0 h Le taux de variation de f entre a et a + h est donné par t (h) = Théorème: tangente f '(a) est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point A de coordonnées (a; f (a)) . L'équation réduite de cette tangente

suivantes : 1 Exercice 7 : Calculer les limites suivantes : 2 a) lim (e3x – 2ex + 4) b) lim e-2x – x + 1 c) lim (e-x – 3e2x – 2) e) lim – e x→0 x → –∞ 1 x x → –∞ x → –∞ x→0 d) lim – 1 e –1 x Exercice 8 : 1. Démontrer que : ex + 1 1 + e-x = . ex – 1 1 – e-x 2. Utiliser l’écriture la plus adaptée pour calculer les limites suivantes : ex + 1 ex + 1 a) lim x b) lim x x → +∞ e – 1 x → –∞ e – 1 x e +1 ex + 1 c) lim + x d) lim – x x→0 e – 1 x→0 e – 1 pour tout réel x ≠ 0, Exercice 9 : Valider

a besoin d'être approfondi NOTE : 11 sur 20 Exercice 1: 2 n 2 × 1) 1 1 n 3 2 1– n 2 1 2 Or lim n = lim n =0 donc lim =1 1 n ∞ 2 n ∞ 3 n ∞ 1 n 3 n 2 2 =0 Or 0< < 1 donc lim 3 n ∞ 3 2 n – 2 lim Par conséquent =0 n n ∞ 3 1 n 1,75 sur 2 2 1 – n n 2 n 2 – 2 2 2 lim = = n 1 3 n ∞ 3 1 n 3 1 n  3  1–  juste Maladroit n n n n 2n 2n n n 2) lim 22n – 3n=4n – 3n = 4 – 3 4 3  = 4 – 3 = 16 – 9 n ∞ 4 n3n 4n3 n 4 n3 n n n n n 2n 2n 16 – 9

limite de la suite. Lorsque le terme g´n´ral s’approche, ` l’infini, vers un e e a nombre fini a, on dit que la suite converge vers a et on ´crit lim un = a. Lorsque e Mais, il y a des cas , par exemple un = (−1)n , o` cela se passe beaucoup moins bien et u on est incapable de conclure. e cette limite est infini on dit que la suite diverge. Dans ce cas, on ´crit lim un = ∞. n→∞ n→+∞ entier n0 tel que pour tout n > n0 , on ait |un − ℓ| < ε. Ceci est r´sum´ dans la forme e e compacte suivante : D´finition

d´efinie comme ´etant la valeur limite des pentes des droites s´ecantes de P et Q lorsque Q se rapproche de P le long de la parabole, c’est-`a-dire lorsque h → 0. La pente de la droite tangente est alors ∆y = lim (6 + h). h→0 ∆x h→0 m = lim Lorsque h → 0, (6 + h) → 6 d’o` u lim (6 + h) = 6. h→0 La pente de la tangente `a la parabole y = x2 en P (3, 9) est alors 6 > 0. Dans ce qui pr´ec`ede, h ne doit pas n´ec´essairement ˆetre positif. La m´ethode fonctionne tout aussi bien lorsque

· · · et par passage à la limite, on obtient : Res( f, zo ) = lim (z − z0 ) f (z). (4.1) z−→z0 Si f (z) se présente sous la forme, f (z) = P(z) Q(z) où Q(z0 ) = 0 et Q′(z0 ) 0, (4.2) alors : Res( f, z0) = P(z0 ) · Q′ (z0 ) (4.3) Remarque 4.2.3 Si a−1 = 0, la singularité est appelée «singularité apparente», «pôle apparent», ou «fausse singularité». Exemple 4.2.1 sin z , on a lim z. f (z) = 0 ; 0 est une singularité apparente de f . z−→0 z On peut

finie ` lorsque x tend vers a. x−a D´ efinition 2 Si f est d´erivable en a on appelle nombre d´eriv´e de f en a et on note f 0 (a) le nombre f 0 (a) = lim x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement si f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε (h) avec lim ε (h) = 0 h→0 2 2.1 Fonctions usuelles Fonction constante : f : x 7→ C ∀a ∈ R : f (a + h) = f (a) = C. Donc d’apr`es la remarque ?? : f est

abscisses a pour coordonnées (-2 ;0) Point d’intersection avec l’axe des ordonnées : f(0) = 2. Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ;2) b. lim x + 2 = -∞ et lim e-x = +∞ donc lim f(x) = -∞ x → -∞ x → -∞ f(x) = xe-x + 2e-x x → -∞ lim xe-x = lim -xex = 0 et lim e-x = 0 donc lim f(x) = 0 x → +∞ x → -∞ x → +∞ x → +∞ Il y a donc une asymptote horizontale d’équation y = 0. c. f est un produit de fonctions dérivables sur ℝ, elle est donc dérivable