LIM

): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− ln a = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) = ′ 1 >0 x u (x) [ln(u(x))]x = u(x) ′ ′ Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞ 1.2 Fonction exponentielle népérienne. La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment croissante de R sur R+ . Elle est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien. Leurs graphes sont symétriques

usuelles Comportement à l'infini t → +∞ t → +∞ t → −∞ Comportement à l'origine t →0 lim ln t = +∞ ; lim et = +∞ ; lim e = 0 ; t → +∞ t lim ln t = − ∞ t →0 Si α > 0, lim tα = 0 ; Si α > 0, lim t α ln t = 0 . si α < 0, lim t α = 0 t → +∞ t →0 si α < 0, lim t α = +∞ t →0 Si α > 0, lim t α = +∞ ; Croissances comparées à l'infini Si α > 0, lim et ln t t → +∞ t α = +∞ =0 Si α > 0, lim t → +∞ t α b) Dérivées et primitives : Fonctions usuelles f (t ) ln t et t α (α ∈ IR*)

pas fini ? Jeu de Pile ou Face infini et A = {on ne tire jamais Pile}. Que vaut P(A) ? Si Ω = {0, 1}n et An = “on ne tire jamais Pile lors des n premiers tirages”, alors 1 P(An ) = n . 2 Il est alors naturel d’écrire que P(A) = P(∩n An ) = lim P(An ) = 0. n→∞ Pour que ceci soit vrai, il faut ajouter un axiome supplémentaire permettant le passage à la limite. 5. MAP 311, Chapitre 2, Section 2.3 Tribu 6 Définition : La classe A est une tribu si elle vérifie les propriétés suivantes

un+1 8. Finalement la suite (un ) est minorée par 3 et majorée par 8. Æ 6. Quelles sont les limites des suites (un ) et (vn ) ? ¶ (vn ) est une suite géométrique de raison −1 < ¶ On a alors n→+∞ 1 2 < 1, on a donc lim vn = 0. n→+∞ lim un = lim (8 − vn ) = 8 − lim vn = 8 n→+∞ n→+∞ ⊲ Exercice 3 Révisions sur les suites Soit (un ) la suite définie pour tout n par u0 = 0 et un+1 = 5un − 3 . un + 1 1. a. Représenter u1 , u2 , u3 , u4 , u5 et u6 dans le repère suivant. × 9 8 7 6

Remarquons que les droites d4 et d5 sont respectivement symétriques de d2 et d3 par rapport à la droite y = x La fonction arctan x est donc une fonction constamment croissante. Elle admet pour racine x = 0,   et admet les limites suivantes : lim arctan x = et lim arctan x = x x 2 2 6.2 Application. si y = arctan x avec - 4/01/2014   < y < , exprimer tan y, sin y, cos y et cot y en fonction de x 2 2 CNDP Erpent - Fonctions cyclométriques. II - 5 6.3 Dérivée : y = arc tan x  tan y = x

chaque ∆xk → 0 et si limN →∞ Sn existe (= ±∞) et est indépendante du découpage et du choix des ck alors on dit que f est intégrable au sens de Riemann sur [a,b]. La limite limN →∞ Sn est appelée intégrale définie de f sur [a, b]. On la note N lim Sn = lim N →∞ N →∞ b a f (t)dt : b f (t)dt f (ck )∆xk = a k=1 b Ainsi a f (t)dt est l’aire analytique du domaine délimité par le graphe de f , l’axe Ox et les droites x = a et x = b. C’est bien ce que nous voulions ! ! Remarques : – Dorénavant

1 − e−n 1 un+1 + un = e−nx dx = − e−nx = n n 0 0 b. Pour tout entier naturel n, d’après la question 2., un 0 donc un+1 0 1 − e−n 1 − e−n − un+1 donc un . or, d’après la question 3., un = n n 1 − e−n 1 − e−n 4. Pour tout entier naturel n, 0 un . Or lim = 0 (car e−n tend n→+∞ n n 1 vers 0 ainsi que ). Selon le théorème des gendarmes, la suite un converge n aussi vers zéro. E XERCICE 2 → → → − − − L’espace est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k . On note (D) la droite passant par les points A(1

+∞ , si quand n devient très grand le nombre un devient n → +∞ nombre un se rapproche de a : on note lim un =a . infiniment grand : on note n → +∞ lim un =+∞ . Exemple 5. → Pour la suite définie par un = n2 : on a n → +∞ lim un =+∞ . n → +∞ En effet lorsque n devient infiniment grand, le nombre n² devient infini. → Pour la suite définie par un = 0.9n : on a lim un =0 . En effet lorsque n devient très grand, le nombre 0.9n se rapproche de 0. 1 D. PINEL, Site Mathemitec

vers 0 et donc x 1 x 10 Quand x tend vers +∞, 1+ tend vers (1 + 0)10 c’est-à-dire 1. x→ +∞ lim f(x) = 1. b. f est continue et strictement décroissante sur [1, +∞[. Donc pour tout réel k de l’intervalle ] lim f(x), f(1)], l’équation x→ +∞ f(x) = k admet une solution et une seule dans l’intervalle [1, +∞[. Or f(1) = 210 = 1024 et x→ +∞ x→ +∞ lim f(x) = 1. Donc lim f(x) < 1, 9 < f(1) et l’équation f(x) = 1, 9 admet une et une seule solution notée α dans [1, +∞[. Il existe

décroissante sur [ 1 ; 3 [ et croissante sur ] 3 ; 4 ] . Le tableau de variation de g est donc c . b) u et u + k ont même sens de variation. 2 - a) u + v a le même sens de variation sur b) v ° u est croissante sur . f (a + h) – f (a) 3 - a) f ' ( a ) = lim -------------------------------------. h h→0 b) y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) . 4 - a) f est décroissante sur I. b) f est constante sur I. 5 - Pour tout x de I, f ' ( x ) 0 , sauf éventuellement en certains réels de I où la dérivée s’annule. que