LIM

n se rapprochent de 0 lorsque n augmente indéfiniment. On dit dans ce cas que la limite de la suite (q n ) est égale à 0 et on note lim q n = 0. n →+ ∞ ̈ On conjecture que, pour 1 < q, les valeurs de q n deviennent de plus en plus grandes lorsque n augmente indéfiniment. On dit dans ce cas que la limite de la suite (q n ) est égale à + ∞ et on note lim  q n = + ∞  . n →+ ∞ Séquence 1 – MA01 15 © Cned - Académie en ligne Si pour q = 1,1 on n’est pas convaincu du résultat

appliquant 1.2) à g   on obtient  g n cvn sur tout segment de R, par théorème de dérivation on déduit que g est n0 t de classe C 1 sur R.  1.3.2) gt  2  lim  gt  2  2k  lim  gt  2k or gt  O t12  donc n kn n k1n t n n1 n   lim gt  2n  lim gt  2n  1  0 donc gt  2  lim  gt  2k  gt n n kn1 n 1 2 n1   donc g est 2 périodique. On a c k g    0 e ikt gtdt, notons S n t   gt  2. n

+ 2 - 3 ç ÷ 5n3 + 2n - 4 è n n ø= n n = an = 3 1 1 ö 1 1 3æ n + n2 + 1 n ç1 + + 3 ÷ 1+ + 3 n n è n n ø 1 = 0 pour tout a Î *, d'où : a n lim an = 5 Or, lim n®+¥ n®+¥ Remarque : on pouvait aussi utiliser la règle suivante "la limite d'une fraction rationnelle en +¥ (ou -¥) est égale au quotient des termes de plus haut degré", ainsi : lim an = lim n®+¥ n®+¥ 5n3 =5 n3 Suite (bn) Nous savons que pour tout n Î  : En multipliant par 2 : En ajoutant 3 : -1  sin n  1 -2  2 sin

u diverge vers – ∞. y 2°) Démonstration L On effectue la démonstration dans un cadre général abstrait : on ne connaît pas le terme général de la suite ( un ) . u est croissante (H1) Hypothèses O u est non majorée (H2) x But : démontrer que lim un = +∞ . n→+∞ 2°) Précision sur la limite d’une suite croissante majorée ou d’une suite décroissante minorée Démonstration avec la définition : Grâce à la propriété du paragraphe II, on peut dire que : Il faut démontrer que tout intervalle de la

p+q p+q p+q une même demi-droite d’origine O (puisque j2 p n’est pas un réel positif), l’inégalité précédente est une inégalité stricte. q + jp < 1. De même, p+q Maintenant, On en déduit que lim αk = α0 = a0 + b0 + c0 et que lim βk = lim γk = 0. k→ +∞ k→ +∞ k→ +∞ k→ +∞ lim αk = a0 + b0 + c0 et lim βk = lim γk = 0. k→ +∞ k→ +∞ ou encore la matrice C est la matrice obtenue à partir de la matrice B en échangeant ses deuxième et troisième colonnes. 13. 1 1 1 1 j j2 1 j2 j 1 0 0 1 j−1 j2 − 1 1

croissante ; La suite (bn ) est décroissante ; Pour tout entier naturel n, on a : an bn Pour que ces deux suites soient adjacentes, il suffit de montrer que : lim bn − vn = 0 n→+∞ 0 2 4 Or, d’après la question 2. , le terme de rang n de la suite (un ) admet l’écriture : 1 n un = 6· 3 BOn en déduit : B0 1 1 n lim an − bn = lim un = lim 6· =0 n→+∞ n→+∞ 3 6 n→+∞ 5. On a : vn+1 = an+1 + bn+1 1 1 2an + bn + an + 2bn 3 3 1 2an + bn + an + 2bn = 3 1 = 3an + 3bn 3 = an + bn = = vn La suite (vn )

continu. e e 1.3.1 Fonction de r´partition e C’est la fonction F : R −→ R d´finie par F (x) = P r(X ≤ x). Elle a quelques propri´t´s : e ee • F est une fonction en escalier, • P r(a < X ≤ b) = F (b) − F (a), • F est croissante, • lim−∞ F (x) = 0 et lim+∞ F (x) = 1, • P r(X > a) = 1 − P r(X ≤ a) = 1 − F (a). 1.3.2 Loi de probabilit´ e Si X est une variable al´atoire discr`te avec pour ensemble de valeurs {x1 , x2 , . . .}, sa loi de e e probabilit´ est d´finie par tous les pi =

tend vers 0 + : ⎛ 64 Lim ( x − 8) = −8 et lim ⎜ ⎜ +⎜ + x →0 ⎝ x x →0 ⎞ ⎟ = +∞ par addition on obtient donc : ⎟ ⎟ ⎠ x→0 + Lim f ( x) = +∞ Limite de f quand x tend vers + ∞ x→+∞ Lim ( x − 8) = +∞ et ⎛ 64 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 par addition nous obtenons : lim ⎜ ⎟ ⎜ x ⎠= x →+∞ ⎝ x→+∞ Lim f ( x ) = +∞ 82061CTPA01 3/5 2. Asymptote oblique en + ∞ Calculons la limite de la différence : [ f ( x) − ( x − 8)] lorsque x tend vers + ∞ : Lim [ f ( x )−( x−8)]= Lim x→+∞ 64 =0 x→+∞ x

` lorsque x se rapproche de x0 ». On note lim x!x0 f .x/ D `. Définition 1.2 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admetC1 pour limite lorsque x tend vers x0, si « f .x/ est de plus en plus grand lorsque x se rapproche de x0 » On note lim x!x0 f .x/ D C1. Définition 1.3 Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet ` pour limite lorsque x tend versC1si « f .x/ se rapproche de ` lorsque x est de plus en plus grand » On note lim x!C1 f .x/ D `. 2. Continuité Définition

d´finie sur R e 1. En −∞, lim e3x = 0 et lim (−x − 2) = +∞ donc lim f = +∞ x→−∞ x→−∞ −∞ 2. Au voisinage de +∞, pour lever l’ind´termination sur la limite, on ´crit e e e3x 2 −1− . f sous la forme : f (x) = x x x 3x 2 e = +∞ et lim = 0 donc lim f = +∞ On a lim x→+∞ x x→+∞ x +∞ 1 ln 3 3. f est d´rivable sur R et f (x) = 3e3x − 1. Donc f (x) > 0 ⇔ x > e . 3 D’o` le tableau : u x f (x) +∞ f 1− ln 3 3 −∞ − ln 3 3 +∞ + +∞ 0 4. On a f (x) − (−x − 2) = e3x et lim e3x = 0. x→−∞ La