LIM

(CONVERGENCE) Soit (xn )n2N , une suite de Rn muni de la norme k.k. On dit que (xn )n2N converge dans (Rn , k.k), si et seulement s’il existe l 2 Rn , tel que pour tout " > 0, il existe N 2 N, tel que pour tout n N , kxn lk < ". Remarque 8 n!1 lim = l () pour tout " > 0, il existe N 2 N, pour tout n N, xn 2 Bk.k (l, "). 10 Proposition 10 La limite de la suite (xn )n2N définie ci-dessus est UNIQUE. Preuve : Faite en cours. Proposition 11 L’ensemble des suites convergentes dans un espace

8 = 2Π 2 − 1 = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544 On a utilisé la formule : − ≤ ≤ =2Π − 1. La probabilité que le sachet soit rejeté est donc : 1 − 0,9544 = , . Exercice 2 : A. Etude d'une fonction 1°) On a lim e −0,125t = 0 donc lim 1 + 4,9e −0,125t = 1 + 4, 9 × 0 = 1 . t →+∞ t →+∞ On en déduit que lim f ( t ) = 1 . t →+∞ On en déduit que la courbe C admet une asymptote horizontale D en +∞, d'équation = . 2°) 0 5 10 15 20 25 0,17 0,28 0,42 0,57 0,71 0,82 = , , 30 0,90 3°) a) avec Donc ′

Oraux XENS Analyse 1, Serge Francinou Théo. Posons, pour tout n ∈ N∗, Hn = n∑ k=1 1 k / Alors, il existe γ ∈ R∗+ tel que Hn = ln(n) + γ + 1 2n − 1 12n2 + o Å 1 n2 ã . γ est appelé la constante d’Euler. De plus, si on pose kn = min{k ∈ N, Hk ≥ n} alors lim n→∞ kn+1 kn = e. Démonstration. • Posons, pour tout n ∈ N∗, un = Hn − ln(n) et vn = un − 1 n . Montrons que ces suites sont adjacentes. La différence un − vn = 1 n est positive et converge vers 0. On a un+1 − un = Hn+1 − ln(n+ 1)−Hn + ln(n) = 1 n+ 1

général de la suite en fonction de n et déterminer MOTS CLÉS Exemple : déterminer la limite de : 2 n 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Sn  = 1 +    +  ⎜ ⎟  + …  ⎜ ⎟ . 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ LIMITE D’UNE SOMME Première étape  : reconnaître la somme d’une suite Si lim un  = l géométrique. Si lim vn  = l′ On reconnaît la somme des n + 1 premiers termes alors n→+∞ d’une suite géométrique de premier terme u0 = 1 et 1 de raison q = . 2 1 – qn+ 1 . On sait que : Sn = u0 × 1–q ⎛ 1⎞ 1–⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ Donc : Sn = u0 × 1 1– 2 n+1 ⎛ 1⎞

valeur dans un espace vectoriel norm´ (E, . ) est dite convergente vers un ´l´ment x ∈ E si e ee lim xn − x = 0. On ´crit alors lim xn = x e n→+∞ n→+∞ Dans le cas contraire, o` (xn ) n’admet pas de limite dans E, on dit qu’elle est divergente. u Proposition 43 Soit (xn ) une suite valeur dans un espace vectoriel norm´ (E, . ) et x ∈ E. Les propri´t´s suivantes e ee sont ´quivalentes: e lim xn = x. lim d(xn , x) = 0. R´sum´s de cours: MP-PSI-TSI e e n→+∞ n→+∞ ∀ε > 0, on a (xn ) ⊂ B(x,

0,04 0,02 0 O 0 t (s) tC 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 ©HATIER A = 8 ,96 m ⋅ s – 2 (T0) C Le graphe v = f ( t ) montre que la vitesse du palet atteint une valeur limite v lim = cte , nous avons alors : dv lim ----------- = 0 = A – Bv lim dt A B = ------- . v lim donc Numériquement, avec v lim = 0 ,12 m ⋅ s – 1 , obtenue par lecture graphique, nous calculons : B = 75 s – 1 ©HATIER 

 1 2 2 fn (x) = − n2 (x − ) si x ∈ [ , ] .  n n n     0 si x ∈ [ 2 , 1] n 1 • 0 1 2 (2/n) × n fn (x) dx est l’aire du triangle joignant les points (0, 0), ( , n) et ( , 0). Cette aire vaut c’est-à-dire 1. n n 2 1 n→ +∞ 0 Donc lim fn (x) dx = 1. 3 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. http ://www.maths-france.fr 2 2 , on a ≤x x n et donc fn (x) = 0. La suite (fn (x)) est nulle à partir d’un certain rang et en particulier converge vers 0. Ainsi, pour tout

ANALYTIQUES 1— RAPPELS 1.1, — Fonction signe . itl 1 t&gt;0 On appelle ainsi la fonction sgn t= ad = ~1 t&lt;0. sos 1 1.2. — Distribution vp Tr © La distribution valeur principale au sens de Cauchy de 1/t est définie par : 1 t &lt;vp —, vlt) &gt;= lim f LY ay t It&gt;e e&gt;0 t e&gt;0 _ 1 1 @ Nousavons: $sqn tf =~ vp— iT v F 1 we {-— ian 1.3. ~ Quelques propriétés de la transformation de Fourier. © Soit f(t) une fonction réelle intégrable, nous avons : +00 +00 +o ftv) =f F(t) 2°" dt = Fv)

(un ) est croissante c. La suite est croissante et majorée par 1 : elle converge vers une limite telle que 1. 2 1 + ⇐⇒ 5 = + 2 ⇐⇒ 4 = 2 ⇐⇒ vérifie la relation de récurrence : = 5 5 1 = . 2 1 a. On a de façon évidente un = p (E n ) et par conséquent lim p (E n ) = . n→+∞ 2 b. Considérons la suite des différences de p (E n ) avec sa limite 0, 5, soit v n = p (E n ) − 0, 5. On a v n+1 = p (E n+1 ) − 0, 5. 1 2 La relation de récurrence devient : v n+1 + 0, 5 = (v n + 0, 5) + ⇐⇒ 5 5 1 v n+1 = v n . 5 1

de calculer les vitesses. On obtient alors la courbe suivante : v(t) = f(t) Vlim vitesse temps Conclusion : Vlim , lorsque cette vitesse est atteinte, le mouvement est uniforme. ccélération initiale est : a0 = ( dV )0 = dt V lim = V lim a0 et V(t) ? Quelles sont les expressions théoriques de Vlim, chap10 Chute verticale Chute verticale PHYSIQUE 2-2 Equation différentielle du mouvement Référentiel Référentiel terrestre considéré galiléen Système Le système étudié