LIM

premier terme est w1) 2 B3.b. Soit à résoudre le système : xn + yn = 1 4 xn − 3 yn = 0,5 × (0,3)n −1 en multipliant la première ligne par 3 et en additionnant membre à membre : 7 xn = 3 + 0,5 × (0,3) n −1 xn = B4 n →+∞ 3 1 + × (0,3)n −1 7 14 lim 3 1 3 + × (0,3) n −1 = car, comme 0,30 et vn >0. 3. a. Démontrer que quel que soit n de IN, b. En déduire que quel que soit n de IN : ( un + vn ) 2 − 28 = ( un − vn ) 2 un +1 − vn +1 = 1 2 ( un − vn ) 4un +1 4. 5. c. Conclure

le capital disponible au bout de n années alors : • Cn = 15000 + 375n • Cn = 15000 + 0,025n • Cn = 15000 + 1,025n • Cn = 15000 × 1,025n 1 1 1 + · · · + n alors : 2. On note Sn = 1 + + 5 25 5 • n→+∞ lim Sn = +∞ • n→+∞ lim Sn = 1,25 • n→+∞ lim Sn = 1,5 • n→+∞ lim Sn = 2 3. Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d’une fonction f dérivable sur R. La droite D est tangente à la courbe C f au point A(5; 0). y 4 3 2 1 D A -7 -6 -5

g´n´ral d’une s´rie convergente. Ainsi, u e e e (an xn ) converge normalement sur [−1, 1]. Comme c’est une s´rie de fonctions continues, e la somme S est continue sur [−1, 1]. On a ainsi +∞ an = lim S(x) = lim (1 + x)α = 2α n=0 +∞ x→1− x→1− (−1)n an = n=0 x→(−1)+ lim S(x) = x→(−1)+ lim (1 + x)α = 0 (d) On suppose α < −1. On est dans le cadre de A.1 pour (|an |). On y a vu qu’il y a avit divergence grossi`re. (|an |) n’´tant pas de limite nulle, il en est de mˆme de (an ) et

d’obtenir soit − β = 2,575 8 0, 01 = 2,575 8 ⇔ σ2 = 0,003 85 σ2 En conclusion, à 10−3 près, σ ≈ 0, 004. d’où Liban 2 28 mai 2013 A. P. M. E. P. Baccalauréat S E XERCICE 3 (6 points) Partie A 1. Puisque lim e−x = 0, il vient, lim f 1 (x) = 1 x−→+∞ x−→+∞ Puisque lim e−x = +∞, il vient, lim f 1 (x) = 0 x−→−∞ x−→+∞ Graphiquement cela signifie que les droites d’équation y = 0 et y = 1 sont deux asymptotes horizontales à C 1 au voisinage respectivement de moins et plus l’infini. ex × 1 ex ex 2

croissante sur R. On pourra noter indifféremment exp ou l’exponentielle. En utilisant ces résultats, démontrer les propriétés suivantes : a. lim → = 1. b. Pour tout réel , exp ≥ +1 On appelle la fonction définie sur R par = si ≠ 0, et 0 = −1 2. A l’aide de la question 1, démontrer que est continue en 0. 3. Démontrer que l’on a pour tout 4. On admet que lim → ≠0: = . peut-on en déduire ? = . Quelle information sur la fonction 5. Etudier la limite de en +∞. Démontrer que l’on a, pour

)] = F( s ) = ∞ ∫0+ f ( t )e −st dt Exemple 4 : Calculer la transformée de Laplace de la fonction échelon unitaire 0 pour t<0 Γ(t)= . 1 pour t>0 Réponse : ∞ 1 1 1 +∞ +∞ U( s ) = L[ Γ( t )] = ∫ + Γ( t )e−st dt = ∫ + e −st dt = − e −st  = lim − e −st  +  s  0 + t →∞  s  s 0 0 Pour que l'intégrale converge, on doit avoir σ>0 et donc σ0 = 0 . 1 Donc U( s ) = L[Γ( t )] = pour tout s telle que Re(s)>0. s Définition 2 : Soit F(s) la transformée de Laplace de la fonction f(t), t>0,

DP = 29 + 10 2 ( Calculons maintenant la vitesse du coureur à l'aide de la relation : v = Le promeneur a couru, au retour, à une vitesse de 13 km/h environ. d DP = = 2 29 + 10 2 t 0,5 DEVOIR-MAISON N°11 Le but de ce devoir est de démontrer : lim PARTIE A Calculs d'aires x →0 sin x = 1. x → → tel que l'angle ( OI , OM ) soit de   Soit x un réel de l'intervalle ]0 ; mesure x. π [ et M le point du cercle trigonométrique 2 Les éléments géométriques utilisés par la suite sont décrits

a pour limite un nombre lorsque les nombres un se rapprochent ind´finiment de pour des entiers n de plus en plus grands. e On dit alors que la suite (un ) converge ves , ou encore qu’elle est convergente, de limite . Ceci se note par le symbole lim un = . n→+∞ De fa¸on plus formelle, ceci se traduit par le fait que pour toute pr´cision c e ε > 0 fix´e, il existe un rang N tel que, pour tout n e n≥N =⇒ −ε < un − < ε. (16) Voici un th´or`me d’usage fr´quent pour s’assurer de

Définitions Soit u une suite réelle et L un réel. – On dit que la suite u admet pour limite le réel L (ce que l’on note lim un = L) si et seulement si : n→+∞ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N/∀n ≥ n0 , |un − L| ≤ ε Autrement dit, tout intervalle fermé centré sur L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. – On dit que la suite u admet pour limite +∞ (ce que l’on note lim un = +∞) si et seulement si : n→+∞ ∀M ∈ R+ , ∃n0 ∈ N/∀n ≥ n0 , un ≥ M Autrement dit, tout intervalle non majoré contient

f ′ (a) = lim Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I et a un point de I. • On appelle taux d’accroissement (ou taux de variation) de la fonction f entre a et a + h, le nombre t défini par : f (a + h) − f (a) t= h • La fonction f admet un nombre dérivé, noté f ′ (a), en a, si et seulement si, le taux d’accroissement de la fonction f en a admet une limite, c’est à dire : f (a + h) − f (a) h→0 h f ′ (a) = lim f (x) − f (a) x→a x−a ou encore f ′ (a) = lim Remarque