Loi binomiale négative

LOI BINOMIALE I. Répétition d'expériences identiques et indépendantes Exemples : 1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat. On répète ainsi la même expérience (lancer un dé) et les expériences sont indépendantes l'une de l'autre (un lancer n'influence pas le résultat d'un autre lancer). 2) Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On répète cette expérience 10 fois de suite. Ces expériences

proportion dans l'ensemble de la population, à une marge d'erreur près. Avec un taux de confiance de 95 %, un intervalle de fluctuation de la proportion peut être calculé. Il dépend de la taille de l'échantillon et de la fréquence. En Première, la loi binomiale permet de diminuer l'amplitude de cet intervalle et de faire varier le taux de confiance. L'échantillonnage est une aide à la prise de décision pour les entreprises, l'État ou les collectivités locales. 1. Qu'est-ce qu'un échantillon ? Échantillon

Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. 2) On effectue 9 forages. a. Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire correspondant au nombre de forages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale ? b. Sous cette hypothèse, calculer

d’asymétrie Calculons les débits de retour des périodes 20, 50 et 100 ans avec la loi log-normale On utilise la relation suivante : On a Pour une période de retour de 20 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=1.645 donc /s Pour une période de retour de 50 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=2.06 donc /s Pour une période de retour de 100 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=2.33 donc ainsi /s La loi Log-pearson : avec Pour une période de retour de T ans , on a p=1/T On calcule

couleur différente. Partie B :Le joueur gagne 5 euros s'il obtient une face noire et perd un euro s'il obtient une face blanche . Il lance toujours deux fois le dé. On considère X la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenue 1) Déterminer la loi de probabilité de X 2) Quel est le gain moyen de ce jeu? Exercice 6: QCM sur 5 points Donne sans justification la bonne réponse. Une seule par question. Sur la copie, on indiquera le numéro de la question et la lettre de la réponse. Question 1) Si

LOI BINOMIALES ET APPLICATIONS I) EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI 1) Epreuve de Bernoulli DEFINITION : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelé succès ( ? ), l’autre échec ( ?̅ ). EXEMPLES : • On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l’issue « pile » et échec l’issue « face ». • On lance un dé. On peut décider d’appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5. 2) Loi de Bernoulli

1. 1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a) On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité des événements suivants : A : « il n’y a aucun stylo avec un défaut » ; B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ; C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ». 2) En vue d’améliorer

2°/ La loi de Poisson est la loi des "anomalies" indépendantes et de faible probabilité. On peut l'appliquer ici a priori directement, faute d'autres informations sur la survenue des accidents. Afin de mieux s'en convaincre, en notant que les accidents sont considérés comme des événements indépendants, on peut interpréter X comme une variable binomiale de paramètre n = 200 (nombre d'épreuves) de moyenne np = 0,8. Par suite p = 0,004. On est tout à fait dans le champ d'approximation de la loi de Poisson:

simplement le nombre de Pile sur les n lancers et on a X ∼ B(n, p). Proposition 2.9 (Moments d’une loi binomiale) Si X suit une loi binomiale de paramètres (n, p), alors : E[X] = np & Var(X) = np(1 − p) = npq. Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9). Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous les cas et la variance l’est

population et l’on cherche à en déduire des propriétés pour la population toute entière. Les variables statistiques qui décrivent la population peuvent être considérées comme des variables aléatoires dont la répartition est caractérisée par une loi de probabilité. Échantillonnage On sélectionne un échantillon de taille par tirage au sort de la population. On détermine les intervalles de fluctuation à partir des informations connues ou supposées dans la population (soit on connaît la