Loi de probabilité

face à une crise majeure. Son spread a augmenté et vaut maintenant 1000 bp. L'acheteur B de la protection retourne sa pose dans le marché avec C. Combien l'acheteur B a-t-il gagné ou perdu d'argent dans cette opération ? 3. Estimez la nouvelle probabilité de défaut annuelle de la contrepartie X. 1 Les dates de paiement de la jambe de prime sont donc semestrielles. 2 -1254.60 -768.54 -601.87 -497.66 -405.72 -351.56 -287.89 -227.15 -203.05 -172.62 -130.19 -60.38 -10.32 13.38 55.18 80.47 133

boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Les trois questions de l'exercice sont indépendantes. 1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. a. Démontrer que: p(X = -1) = ( n+lO 2)(n+9 ) . 2 b. Calculer, en fonction de n, la probabilité correspondant aux

représentant la situation sur l’annexe. (2 pts) 2. Calculer la probabilité des évènements A : « Marie choisit 3 bonbons à la menthe » et B : »Marie choisit au moins un bonbon à la menthe ». (2pts) 3. On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Marie pioche le bonbon au coca le 1er jour, 2 si elle le pioche le 2ème jour, 3 si elle le pioche le 3ème jour et 0 si elle repart sans l’avoir mangé. Etablir la loi de probabilité de X et calculer son espérance ( ). (2 pts) Partie B (7,5

proportion dans l'ensemble de la population, à une marge d'erreur près. Avec un taux de confiance de 95 %, un intervalle de fluctuation de la proportion peut être calculé. Il dépend de la taille de l'échantillon et de la fréquence. En Première, la loi binomiale permet de diminuer l'amplitude de cet intervalle et de faire varier le taux de confiance. L'échantillonnage est une aide à la prise de décision pour les entreprises, l'État ou les collectivités locales. 1. Qu'est-ce qu'un échantillon ?

la probabilité pour que le candidat donne la bonne réponse : a. à la première question posée ? b. à une seule des questions posées ? c. aux quatre questions posées ? 3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes données par le candidat. a. Donner les différentes valeurs prises par X . b. Donner la loi de probabilité de X . c. Calculer l’espérance mathématique de X . 4. Un candidat sera reconnu apte s’il donne au moins trois réponses correctes. Quelle est la probabilité qu’un

pemanent)=≈ 0.874 5) La probabilité que, parmi trois visiteurs choisis au hasard, au moins un n'ait pas fait d'achat à la librairie est égale à : 1 moins la probabilité que, parmi trois visiteurs choisis au hasard, les trois aient fait un achat à la librairie. La probabilité de faire un achat est P(L)=0.417 P(trois visiteurs aient fait un achat à la librairie)=0.4173 P( au moins un visiteur sur les 3 n'ait pas fait d'achat à la librairie)=1-0.41 5 a) La loi de probalité de X

confiance de 99 % sur un horizon d’une semaine ; cela signifie que, dans des conditions de marché normales, il y a une probabilité de 1 % d’enregistrer une perte de plus de 100 M€ sur la semaine de détention (période sur laquelle la variation de valeur du portefeuille est mesurée). Au moyen d’un seul chiffre, la VaR indique donc l’exposition d’un portefeuille au risque de marché et la probabilité de perte dans les conditions envisagées. Le risque est en outre mesuré en unités monétaires, les mêmes que celles

la situation en précisant les probabilités des évènements utilisés. Notons ? l’évènement « tirer une boule blanche » et ? l’évènement « tirer une boule rose ». 2) Quelles sont les valeurs prises par ? ? Les valeurs prises par ? sont 4, −1 et 6. 20? 3) En utilisant l’arbre pondéré, montrer que ?(? = −1) = (10+?)2 ? 10 10 ? 10? 10? 20? ?(? = −1) = ?(??) + ?(??) = × + × = + = 2 2 (10 + ?) (10 + ?)2 10 + ? 10 + ? 10 + ? 10 + ? (10 + ?) 4) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire ?. 10

variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. b. Une valeur approchée du réel u tel que p(Z 6 u) = 0,06 est u ≈ −1.555. c. Z = X −50 σ′ ⇔ X = σ ′Z +50 p(X 6 49) = 0,06 ⇔ p ¡ σ ′Z +50 6 49¢ = 0,06 ⇔ p µ Z 6 − 1 σ′ ¶ = 0,06 On doit donc avoir − 1 σ′ = −1,555 ⇔ σ ′ = 1 1,555 ≈ 0,643 La valeur attendue de σ ′ est donc 0,643. 3. a. Ici, l’épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme succès de probabilité 0,06,... ou pas. On répète

mesures de sécurité afin de limiter des dégâts intenses . Objectifs de la série d’exercices : Utiliser les méthodes statistiques afin de déterminer les périodes de retour de débits ou inversement . Utiliser les différentes lois de distribution de probabilité , et approcher ainsi une partie des problème hydrologiques par les méthodes statistiques. Exercice 1 : Déterminons le débit de la période de retour de 20 ans et de 100 ans en utilisant la distribution de Gumbel : Pour ceci on utilise la relation