Loi de probabilité

 Définition: un modèle est dit stochastique ou aléatoire si aucune prédiction exacte n’est possible du système dont aucune équation ne les régissent. Exemple: signal audio  Il est possible alors de décrire ce système en terme de probabilités ou de statistiques t.q. la moyenne, la corrélation etc… ENSI 2013 Processus aléatoire 9 Définition mathématique d’un processus aléatoire (1/4)  Considérons une expérience aléatoire spécifiée par des résultats s(t) à partir

sont marquées 4 et une face est marquée 6. La probabilité pi d’apparition de la face marquée i est proportionnelle au nombre i 1 1 1 2. On suppose dans la suite que p2 = ; p4 = et p6 = 6 3 2 On lance deux fois de suite le dé précédent, on note i le résultat du premier lancer et j le résultat du 2ème lancer On définit a variable aléatoire X qui au couple (i ; j) associe le nombre i – j a) Déterminer l’univers image de X. b) Déterminer la loi de probabilité de X. 1. Calculer p2, p4, p6. 1,5 pt ht

EXERCICE I Un joueur dispose d’une urne contenant 3 boules rouges, 4 boules blanches et n boules vertes . les boules sont indiscernables au toucher. 1°) Le joueur tire au hasard une boule de l’urne. Calculer la probabilité des événements suivants: a) R: «La boule tirée est rouge » ; b) B: «La boule tirée est blanche » ; c) V: «La boule tirée est verte » ; 2°) Le joueur décide de jouer une partie. Celle-ci se déroule de la manière suivante : * Si la boule est rouge, il gagne 16 F. *

Connaît-on la variance ? NON OUI On estime: On considère On doit supposer la normalité de la variable mesurée (Xi~N(μ,σ)) On estime: On considère Comparé à εα Comparé à εα (Table loi normale) (Table loi normale) OUI On considère On considère Comparé à tαn-1 (Table loi student n-1 ddl) Comparé à εα (Table loi normale) B) Comparaison à une proportion théorique Exemple du début du cours: Maladie qui tue p0 = 50% des souris sans traitement Traitement testé sur 40 souris ⇒ 23 survivantes Effet

compagnie B fait défaut entre les dates 0 et T et 0 sinon. Cette mesure est donc donnée par : AB PAB T T PAB T QA T 2 QB T QB T la probabilité jointe de défaut de A et B entre les dates 0 et T, cumulée de A d’ici à la date T et AB (1) 2 QA T avec QA T QB T QA T la probabilité de défaut la probabilité de défaut cumulée de B d’ici à la date T. Typiquement, QB T T dépend de la durée de la période considérée T et augmente généralement avec elle. D’après

test Les probabilités étant supérieures à 5%, on accepte Ho. Il n'y a pas d'effet arch. Test sur les coefficients du modèle On fait ce test pour savoir si on a raison de faire un AR(2) Histogramme On constate que la kurtosis est de 20.166, elle est supérieure à 3 donc la distribution est leptokurtique. La skewness est égale à 3.417, elle est positive donc asymétrique. La Jarque-Bera est de 5220.604, sa probabilité est de 0.000000 donc on rejette l'hypothèse d'une loi normale. Les

Exercice n°99 p255 1) X suit une loi binomiale de paramètre p=0,48 et n=21. X~B (214 ; 0,48) 2) On cherche combien de fois Fabrice peut espérer gagner en moyenne lors de ces 214 parties. Etant donné que la probabilité que Fabrice gagne est de 0,48 et qu’il y a 214 parties, on fait : probabilité de gain * nombre de partie D’où 0,48 * 214 = 102,7 Or étant donné que c’est des chances le nombre obtenu doit être un entier naturel, donc on arrondi au supérieur. Conclusion, Fabrice peut espérer

Rd indépendamment les uns des autres selon une distribution de probabilité fixée mais inconnue P(x). Un professeur attribue à chaque vecteur d’entrée x une valeur y, parfois appelée sortie désirée selon une loi P(y\x) également fixée mais inconnue Une base d’exemples ou échantillon S , de taille m , est alors un ensemble de m observations S={(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)} Indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) selon la loi jointe P(x,y)=P(x)P(y\ x). D’autre part, on dispose d’une machine

1 Théorème de Bayes Probabilité conditionnelle Estimer la probabilité conditionnelle P (Y = y k / X )= = P (Y = y P (X / Y = y k ) P (X ) P (Y = y k ) × P ( X / Y = y k k )× ) k ∑ K k =1 P (Y = y k )× P (X /Y = y ) Déterminer la conclusion = déterminer le max. y y k * = arg = arg max k P (Y = y k / X ) ⇔ k * max k P (Y = y k )× P (X /Y = y k ) Probabilité a priori Estimé facilement

2 2. Déterminer la loi de probabilité d’une expérience aléatoire . Exercice 1 On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On notera F « obtenir le côté Face » et P « obtenir le côté Pile » 1) Construire l’arbre correspondant à cette expérience . 2) On note les évènements : A « on obtient une seule fois Face » , B « on obtient Pile au troisième lancé » , C « on obtient au moins une fois Face » a) Ecrire les issues contenues dans B b) Calculer la probabilité de A c) Donner la phrase