Moyenne arithmétique

allons donc tester si les inter-arrivees peuvent ^etre modelisees par une loi ex- penentielle. Dans un premier temps nous devons trouver le parametre . Or nous savons que si X  () : E(X) = 1  On peut donc estimer  par l'inverse de la moyenne empirique des inter-arrivees. Avec nos donnees nous trouvons :  = 0:4095 Le graphe suivant represente un N(t) en ayant simule les inter-arrivees suivant une loi exponentielle de parametre  = 0:4095 3 Figure 2 { Nombre de sinistres en

prouver que P(|Xn − 0| > ε) → 0. Mais P P(|Xn | > ε) = P(Xn > ε) = P(IU ε) = P(U < 1/n) = 1/n → 0 pour n → ∞. Loi faible des grandes nombres Définition 8. Soit (X1, ¯ (Xi)1 i n par Xn = n−1 n i=1 , Xn) un vecteur aléatoire. On définit la moyenne empirique des Xi. ¯ Exemple 9. Soient les Xi des v.a. iid de loi N (0, 1) alors Xn ∼ N (0, 1/n). Donc pour tout ε > 0 ¯ P(|Xn | > ε) = P(|Z | > √n ε) = P(Z > √n ε) + P(Z < −√n ε) = 2 P(Z < −√n ε) = 2FZ(−√n ε) 2 où Z ∼ N (0, 1). Cette quantité

exhaustif loi statistique caractérisée par: Moyenne : m Variance : σ² Proportion : P estimation X i ≡ X ∀i sondage loi statistique caractérisée par: Moyenne : X Variance : S² Proportion : F Intervalles de confiance N individus X : variable aléatoire On distingue deux cas : • On connaît la population c’est à dire sa loi avec ses caractéristiques (moyenne, variance) et on cherche des renseignements sur un échantillon de n individus (loi, moyenne, variance, avec quels intervalles de confiance

LA MOYENNE La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par l'effectif total. L’effectif total est N = n1 + n2 + … + np on le note .  La moyenne est donnée par la relation : PROPRIETES : 1. Si une série est partagée en deux séries d’effectifs N et P, et de moyennes et alors la moyenne de la série totale est . 2. Linéarité :  Si on multiplie chaque valeur de la série par un réel a (a  0), alors la moyenne est multipliée

et le nombre de réalisations est important. Dans ce cas, la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central limite. On parlera d’intervalle de confiance asymptotique. n Dans la suite on considère X ~ N(m,σ 2 ) et X 1 ,...,X n n variables i.i.d selon la loi de X. On définit la moyenne empirique X n = 1) Cas où la variance est connue Après centrage et réduction de la moyenne empirique, on obtient : ⎞ ⎛ Xn −m On a : P⎜ − u ≤ n ≤ u⎟ = 1 − α σ ⎠ ⎝ 1 n

. . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.2 Les probl`mes ` r´soudre . . . . . . . . . . . . . e a e 2.1.3 Echantillon, r´alisation d’´chantillon, statistiques e e 2.2 Quelques statistiques classiques . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 La moyenne empirique et la variance empirique . ¯ 2.2.2 Lois de probabilit´ des statistiques X et S 2 . . . e 2.2.3 Fr´quence empirique F . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fonction logarithme népérien est une primitive de la fonction 1/x : (ln x)’ = 1/x. Moyenne géométrique Définition : on se souvient que la recherche d’un caractère additif moyen conduisait à la notion de moyenne arithmétique, dite simplement moyenne, celle d’un effet multiplicatif moyen conduit à celle de moyenne géométrique. Soit une suite de nombres positifs : x1, x2, x3, … xn, de produit P = x1.x2.x3. … xn, on appelle moyenne géométrique, notée G, de ces nombres, le nombre qui multiplié n fois, ou élevé

et b, alors 3) MOYENNE ARITHMETIQUE Si xi sont les observations d'une variable discrète ou les centres de classe d'une variable classée, La moyenne arithmétique est un paramètre de tendance centrale plus utilisé que les autres de par ses propriétés algébriques: a) Pour plusieurs populations d'effectifs n1, n2, ....., nk, de moyennes respectives moyenne globale = moyenne des moyennes b) La moyenne arithmétique conserve les changements d'échelle et d'origine 4) MOYENNE GEOMETRIQUE Si xi

Au début du XVIIème siècle, le besoin de faire beaucoup de calculs (en astronomie, navigation, économie, arpentage, …) pousse à chercher des moyens pour faciliter les multiplications et les puissances. Après divers essais visant à remplacer les multiplications par des additions ou à simplifier les calculs trigonométriques, vint NEPER (1550-1617) qui inventa les logarithmes. Les astronomes furent ravis de cette découverte et KEPLER (1571-1630) salua l’œuvre de NEPER en 1624. D’une part, Neper

POSITION Les graphiques nous donnent une idée vague des modalités autour desquelles les individus sont regroupés. Les paramètres de position encore appelés caractéristiques de tendance centrale vont préciser ces modalités. Ce sont : le mode, la moyenne arithmétique, la médiane et les quantiles. 3- 1 -Le mode 3-1-1- Définition Le mode M0 (ou dominante) d’une série statistique est la valeur du caractère qui a l’effectif (ou la fréquence) maximal(e). Il peut exister plusieurs modes dans une même série.