Moyenne arithmétique

Formules concernant les suites arithmétiques et les suites géométriques I Suites arithmétiques 1°) Définition : On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est souvent noté r). 2°) Exemple : Suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 : 2 5 8 11 14 17 etc. 3°) Notations possibles : Si on note u0 le premier terme, on a : u0 = 2, u1 = 5, u 2 = 8, etc. et, dans

Devoir de contrôle N°1 Réalisé par : Mr Raouafi.A Nom & Prénom : ……………………….…………………..………………… Classe : ………………… G : ……. N° : ……… Note: 20 B- PARTIE GENIE ELECTRIQUE : I. Etude Arithmétique et Binaire: Soient les trois nombres binaires: A = (11010)2 , B = (101101)2 et C = (10110100)2. 1. Convertir en décimal puis en BCD les deux nombres A et C. A=(….….)10 = (………….…...…...…)BCD et 0.5 Pt C=(….….)10 = (………….…...…...…)BCD 2. Ecrire sous la notation signe-grandeur (–B) sur un format de 8 bits. 0

estimateur de a e ˆ θ une fonction θn = gn (X1 , ..., Xn ) des n premi`res r´alisations de la variable X. e e L’estimateur est dit sans biais si, pour chaque n ≥ 1 : ˆ E(θn ) = θ . Il est dit convergent si : ˆ E((θn − θ)2 ) Par exemple Th´or`me 1.1. La moyenne e e X1 + ... + Xn ¯ Xn = n est un estimateur sans biais et convergent de l’esp´rance E(X). e Th´or`me 1.2. La variance empirique e e s2 = ¯n 1 n−1 n n→+∞ → 0. ¯ (Xi − Xn )2 i=1 (attention au “n − 1”!!) est un estimateur sans biais

Quelques statistiques classiques . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 La moyenne empirique et la variance empirique . ¯ 2.2.2 Lois de probabilit´ des statistiques X et S 2 . . . e 2.2.3 Fr´quence empirique F . . . . . . . . . . . . . . e 3 Estimation 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 G´n´ralit´s sur les estimateurs . . . . . . . e e e 3.3 Estimation ponctuelle des param`tres usuels e 3.3.1 Estimation de la moyenne . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Distribution d’échantillonnage de la moyenne Quelle loi pour X ? Théorème Central-Limite (TCL) Si X → Loi quelconque L avec E(X) = µ et Var(X) = σ² n →€∞ Si X → N (µX, σX) € quelque soit n X → loi normale En pratique n ≥ 30 X → loi normale Quels paramètres pour la loi de distribution de X ? € Espérance mathématique de X : E ( X ) E ( X ) = E ( X ) = µX € Variance de X : 2 σ Var X ( ) Var ( X ) Var X = = X ( ) n n € = erreur standard de la moyenne II – Echantillonnage & estimation

Méthode Télescopage On appelle somme télescopique toute somme du type suivant n (ak+1 − ak ) = an+1 − am k=m Exercice 1.2 ❿ ⑩ n Calculer Sn = ln 1 + k=1 1 . k Sommes de puissances n km . On sait (série arithmétique) que S1 (n) = Notons Sm (n) = k=1 n(n + 1) . Traitons le calcul de S2 (n). 2 Première méthode On pose uk = ak3 + bk2 + ck et on déterminer a, b, c tels que uk+1 − uk = k2 pour tout k ∈ N. Deuxième méthode n (k + 1)3 − k3 de

e e Z Z - Xn ∈ L2 (Ω, A, P). - IE(Xn ) ne d´pend pas de n. e - cov(Xn , Xm ) ne d´pend que de la diff´rence n − m. e e Pr´paration ` l’agr´gation - Universit´ Paris - Sud e a e e 3 Si ces conditions sont v´rifi´es, on note µ = IE(X0 ) la moyenne du processus. Si µ = 0, on dit que e e X est centr´. En outre, on notera γ la fonction de covariance de X d´finie par : e e ∀n∈Z Z, γ(n) = cov(Xn+m , Xm ) = IE[(Xm+n − µ)(Xm − µ)] pour tout m ∈ Z Z. Quand la fonction de covariance est nulle pour

et de Xi  La variance des résidus est constante: V ( ei ) = E ( ei ²) = δe² quantité finie H4 H5 Hypothèse d’indépendance des erreurs:  Cov ( ei , ej) = 0 Hypothèse de normalité  Les erreurs sont distribuées selon une loi normale de moyenne nulle et d’écart-type constant  E ~> N ( 0 ; σ ) H6 Hypothèse qui concerne la variable exogène  Lorsque n tend vers l’infini, la suite des Xi est telle que: ∑������������ ������ = ������ X0 quantité finie ∑(������������ −������

On voit que malgré une experience moyenne plus faible, les femmes ont un salaire plus important que les hommes, des postes plus importants et des diplomes plus important. Ils ont par contre un age moyen a peu pres equivalent ainsi qu’une ancienneté moyenne equivalente Femme | 68 | Homme | 140 | Total général | 208 | Les femmes sont moitiés moins que les hommes. Étiquettes de lignes | Femme | Homme | Total général | Non | 32,69% | 58,17% | 90,87% | Oui | 0,00% | 9,13% | 9,13% | Total

composantes principales (6 points) On consid`re les donn´es suivantes : e e Var. 1 Var. 2 Classe 25 30 30 35 10 15 15 20 -25 -20 -22 -17 -8 -11 -13 -16 1 1 1 1 2 2 2 2 1. Placez dans le plan les 8 individus ci-dessus ainsi que les moyennes empiriques des classes et la moyenne empirique de l’ensemble des donn´es. e 2. Calculez la matrice de covariance de l’ensemble des donn´es et d´terminer les axes e e principaux. 3. Choisissez le nombre d’axes principaux n´cessaires ` une bonne repr´sentation des e