Multiplication par un scalaire

tion et contenant les constantes. Tout espace vectoriel monotone contenant C contient les fonctions born´es mesurables par rapport ` σ(C). e a Lemme 1 Soit H0 le plus petit sous espace vectoriel monotone contenant C. Alors H0 est stable par multiplication. Lemme 2 Si H0 est un espace vectoriel monotone de fonctions born´es, stable par multie plication, alors il co¨ncide avec b(σ(H0 )), o` b(σ(H0 )) est l’ensemble des fonctions born´e ı u e et mesurable pour la tribu σ(H0 ). 1.4 Mesures

cette opération se traduit par la multiplication par eix (qui amène de 1 à eix ). La translation de hauteur x + y, de A à N sur ∆, se traduit en la rotation d’angle x + y sur le cercle unité (de A à N ), qui traduit algébriquement par le produit par ei(x+y) (qui amène de 1 à ei(x+y) ). On peut également enrouler ∆ à partir de M . La translation (sur ∆ ) qui envoie M sur P se traduit par une rotation d’angle y qui envoie M sur N (ou encore, par la multiplication par eiy ). Les deux rotations, d’angle

Codes lin´aires et codes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4.1 Codes lin´aires et redondance minimale . . . . . . . . . e 4.4.2 Codage et d´codage des codes lin´aires . . . . . . . . . . e e Codage par multiplication matrice-vecteur . . . . . . . . D´codage par multiplication matrice-vecteur . . . . . . e 4.4.3 Codes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caract´risation : polynˆme g´n´rateur . . . . . . . . . . e o e e Op´ration de codage . . . . . . . . . . . . . .

sont indépendantes. Remarque 2.36. Tout élément de l’ensemble des réels R peut être vu comme un élément de V (R ⊂V). Par exemple, le scalaire α ∈ R correspond à une variable aléatoire gaussienne de moyenne α et d’écart type nul (sa densité de probabilité est un pic de Dirac en α). Ainsi, on peut montrer, d’après le théorème 1.66 (page 28) que pour tout scalaire α1 et α2 , on a Iv (α1 , α2 ) . Il suffit de voir que ∀f, g, E (f (α1 ) g (α2 )) = E (f (α1 )) E (g (α2 )) (= f (α1 ) g (α2 )) . Bien

vecteur, les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire avec leurs propriétés, les notions de combinaison linéaire de vecteurs, de vecteurs colinéaires mettre en relation des bases de vecteurs et des repères du plan et de l’espace, en particulier des bases et des repères orthonormés déterminer les coordonnées du milieu d'un segment, du centre de gravité d'un triangle déterminer les composantes et la norme d'un vecteur définir le produit scalaire (expressions algébrique et trigonométrique)

savent accomplir les opérations suivantes : additions, soustractions, changement de signe, multiplications, divisions, comparaisons, modulos. Certaines UAL, le plus souvent de la classe des FPUs, notamment celles des superordinateurs, sont susceptibles d'offrir des fonctions avancées : inverse (1/x), racine carrée, logarithmes, fonctions transcendantales (sin x, cos x, etc.), opération vectorielle (produit scalaire, vectoriel, etc.), etc. Un processeur fait appel à plusieurs UAL, au moins deux : une

réseau antérieur, permettant ainsi la mise en œuvre des standards du moment (en termes de tension et de fréquence). Au niveau urbain en revanche le problème était complexe car plusieurs réseaux non interconnectables coexistaient, conduisant à la multiplication des câbles. Les réseaux en courant continu ont ainsi subsisté très longtemps localement : jusque 1965 à Paris, et 2007 à New York ! Dans les années 1950, les compagnies européennes se coordonnent pour uniformiser les tensions des réseaux de transports

ordinaires (MCO) 89 Quelques éléments sur les calculs matriciels pour comprendre les développements ci-dessus :  (Xa)′ = a′ X ′  (Y ′ Xa)′ = a′ X ′ Y  La transposée d'un scalaire est égal à lui même. Or en se référant aux dimensions des vecteurs et matrice, on constate que (a′ X ′ Y ) est de dimension (1, 1), un scalaire. Pour déterminer le minimum de S , nous réalisons la dérivation matricielle que nous annulons (Labrousse, page 22) : ∂S = −2(X ′ Y ) + 2(X ′ X)a = 0 ∂a (X ′ X)a = X ′ Y L'estimateur

Un peu de calculs ᕡ On a : 1 20 1 = 1 2 −1 = 4×5 = 1 4× 5 1 2× 5 = 5 2× 5 × 5 ( 2 + 1) = ( ( 2 − 1) × ( 2 + 1) ( 2 )2 − 1 ( ) = 2 +1 = )= 2 +1 1 = 5 1 = × 5. 10 10 2 +1 (multiplication par l’expression conjuguée). (2 = 7 (2 2 2 )( ) = (2 2 ) − 2 × (2 2 ) × ( 7 ) + ( 7 ) 2 2 7 ) × (2 2 − 7 ) (2 2 ) − ( 7 ) 2 2− 7 2− 7 × 2 2− 7 2 2+ 2+                   = 8 − 4 14 + 7 = 15 − 4 14 . 8−7 Corrigé

Xcas au lycée Renée De Graeve & Bernard Parisse Université de Grenoble I Xcas, au départ un logiciel de calcul formel, permet aujourd’hui de faire de l’algorithmique, de la géométrie interactive et analytique dans le plan et l’espace et propose un tableur formel, d’où son nom de “couteau suisse des mathématiques”. Il s’agit d’un logiciel libre, disponible sous Windows, Mac OS et Linux, la version à jour se récupère en tapant xcas sur un moteur de recherche ou directement depuis le site de Xcas