Nombre réel

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs

fondamentales A.1 Éléments de théorie des ensembles . A.2 Ensembles finis, monoïdes . . . . . A.3 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Arithmétique . . . . . . . . . . . . A.6 Le corps des nombres réels R . . . . A.7 Le corps des nombres complexes C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

paramètre A où X est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout t ( 0, P(X ( t) = [pic]. La fonction R définie sur l’intervalle [0 ; +([ par R(t) = P(X > t) est appelée fonction de fiabilité. 1. Restitution organisée de connaissances a. Démontrer que pour tout t ( 0 on a R(t) = e-(t. b. Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire que pour tout réel s > 0, la probabilité conditionnelle PX>t (X>t+ s) ne dépend pas du nombre t > 0. 2. Dans

Correction Correction B.F.E.M. Session Juillet 2011 Exercice 1 1. m = 1 − 2 3 . Montrons que m est un nombre négatif : 12 = 1 (2 3) 2 = 22 × ( 3) 2 = 4 × 3 = 12 ; 1 < 12 donc : 12 < (2 3) 2 12 < (2 3)2 , 1 est un réel positif et 2 3 est un réel positif donc : 1 < 2 3 1 < 2 3 donc : 1 − 2 3 < 0 . m est un nombre négatif. Propriété : Deux réels positifs sont comparés dans le même ordre que leurs carrés. a ∈ IR, a > 0 ; b ∈ IR, b > 0 : si a2 < b2 alors a < b 2. m = 1 −

donnée en annexe, page 6. On suppose de plus qu’il existe deux réels a et b tels que : • pour tout x réel, f ( x) = x e a x +b • les points B et C appartiennent à la courbe Γ . 100a + b = 0  1) a) Montrer que le couple (a, b) est solution du système :  1 50a + b = − 2  b) En déduire que pour tout x réel, f ( x) = x e0,01x −1 . 2) Déterminer la limite de f en + ∞ . 3) a) Montrer que pour tout x réel f ( x) = 100 × 0, 01 x e0,01x . e b) En déduire la limite de f en − ∞ . 4) Étudier les variations

lycee.free.fr  1 3. Soit λ un élément de l’intervalle  0 ;  . e  Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; + ∞[ tel que h( a) = h(b) = λ . Ainsi le couple ( a, b) est solution de (E). 4. On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[ , associe l’unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; + ∞[ tel que h( a) = h(b) (on ne cherchera pas à exprimer s( a) en fonction de a). Par

1: y 1 u.a.=aire du rectangle OIKJ J  u.a. K O ı I x Définition 2: Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et Cf sa courbe représentative → → dans un repère orthogonal (O, − , − ). ı  b Le réel, noté a b abscisses et les droites d’équations x = a et x = b. a f (x)dx, est l’aire, en unités d’aire, du domaine D délimité par Cf , l’axe des f (x)dx se lit somme de a à b de f (x)dx ou intégrale de a à b de f y a b f (x)dx=aire

considère l’épreuve aléatoire suivante : « on tire un nombre réel quelconque au hasard dans [0, 1] » . On suppose les tirages équiprobables. √ • Quelle est la probabilité que ce nombre tiré soit égal à 1 ? 0, 65 ? 2 ? 17 ? On note X la V.A.R. égale au nombre tiré au hasard. • La probabilité d’obtenir 17 est clairement nulle (car 17 n’appartient pas à [0; 1] !). Supposons que la probabilité d’obtenir chaque réel de [0; 1] soit égale à un réel p > 0 (situation d’équiprobabilité), pourquoi aboutit-on

existe des réels a, b et c (a≠0) tel que pour tout réel x∈R f(x)=ax^2+bx+c "(Forme développée)" Exemple : Soit x∈R f(x)=5x^2+3x+6  Polynôme du 2nd degré g(x)=x+1  1er degré h(x)=5x^3+3x+6  3ème degré f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a[x^2+b/a x]+c x^2+b/a x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x " 4a)/4a f(x)=a(x-(-b/2a))^2-(b^2-4ac)/4a On pose ∆=b^2-4ac. Ce nombre ∆ est appelé le discriminant du trinôme ax+bx+c

sous sa forme canonique : [pic]((x - ()2 + ( où (, ( et ( sont des nombres réels. [pic] [pic] [pic] est la forme canonique de f. Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur [pic] par [pic]peut s'écrire sous la forme : [pic], où [pic]et [pic]sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. Démonstration : Comme [pic]0, on peut écrire pour tout réel x : [pic] avec [pic] et [pic]. III. Variations et représentation