Nombre réel

deux cercles de centre O, de rayons respectifs R et R’ (R’ 2 sin ( 3x ) = Exercice n°19. 1) Exprimer cos a cos b en fonction de cos(a + b) et cos(a − b) 2) En effectuant un changement de variable que l'on précisera, démontrez que pour tous nombres réels p et q, on a : p+q p−q cos 2 2 3) En déduire les solutions de l'équation cos x + cos 2 x + cos 3x = 0 cos p + cos q = 2 cos Exercice n°20. Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = −4 x 3 + 3x − 1 2 1) Faire une étude

= 262500 u.o. Activité Normale 95% de l'activité normale 105% de l'activité normale Activité réelle   250000 237500 262500 270000   Q Cu M Q Cu M Q Cu M Q Cu M Charges variables 250000 1 250000 237500 1 237500 262500 1 262500 270000 1 270000 Charges fixes 500000 2 1000000     1000000     1000000     1000000 Coût du centre     1250000     1237500     1262500     1270000 Nombre d'unités d'œuvre     250000                   Coût de l'unité d'œuvre     5                   Dont partie fixe

d) Tracer Cf. 2/ Soit F la fonction définie sur[pic]. a) Montrer que f est dérivable sur[pic]et que F’(x)=1. b) En déduire que F(x)=x et que[pic]. 3 / a) A l’aide d’une intégration par parties montrer que[pic]. b) Vérifier que pour tout réel x on a : [pic]. c) Calculer, alors, l’aire du domaine limité par Cf, l’axe des abscisses et les droites D : x=1 et D’ : x=2. EXERCICE N°6 : [pic]. 1/ A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1. 2/ a) Montrer que[pic]. b) En déduire

l'unique solution sur ℝ de y ' = y avec y (0) = 1 . (ii) Pour tout x ∈ ℝ, exp(− x) = 1/ exp( x) c'estThéorème : La fonction exponentielle transforme une somme en produit, c'est-à-dire ∀x, y ∈ ℝ, exp ( x + y ) = exp ( x) × exp ( y ) . Démo : Soient y un réel fixé et hy la fonction définie sur ℝ par hy ( x) = exp ( x + y )exp ( − x) . La fonction hy est dérivable sur ℝ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur ℝ . hy '( x) = [ exp ( x + y )] ' exp (− x) + exp ( x + y ) × [ exp (− x)]

Exercice : Pour n ∈ N, soient a0, ..., an des nombres réels de même signe tels que pour tout i i ∈ {0,...,n } ai > −1. Montrer que : (1 + a0)×...×(1 + an) > 1 + a0 + ... + an Correction : Notons P(n) : « Pour tout réels a0, ...,an de même signe et tels que pour tout i ∈{0,...,n}; ai > −1,on a (1 + a0)×...×(1 + an) > 1 + a0 + ... + an. » Montrons par récurrence que ∀n ∈N, P(n) est vraie. • Pour n = 0, soit a0 un réel tel que a0 > −1 on a bien 1 + a0 > 1 + a0, donc P(0) est vraie.

sachez tout de même que les conventions de la bonne rédaction ne sont pas gravées dans le marbre dans les moindres détails. Chaque mathématicien a ses petites manies. Pour autant je sais que les petites manies qui suivent sont partagées par bon nombre de mes collègues. Les grands principes de la rédaction mathématique 1 Ne négligez sous aucun prétexte les enseignements de cette première partie. Aussi étrange que cela puisse paraître, ils sont à bien des égards les plus importants de toute

heure, pour chaque tranche d’une minute, le nombre de balles envoyées. On a obtenu les résultats suivants : Nombre de balles par minute 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 5 8 5 9 10 9 8 3 1) Donner l’expression développée et réduite de f ( x ) . 2) Démontrer que pour tout réel x, f ( x ) = (3 x + 7)( − x + 1) . 3) Résoudre, en choisissant la meilleure expression, l’équation f ( x ) = 7. 19 Nombre de tranches d’une minute Soit f la fonction

Nicolas Vaillant, modifications M.Buisine – Mathématiques – L1 Gestion & CFA Chapitre 1. ELEMENTS D’ECONOMIE MATHEMATIQUE Rappels sur les fonctions, les dérivées et leur utilisation 1. LES FONCTIONS Une fonction numérique f d’une variable réelle est une application définie d’un ensemble Df inclus dans  et qui prend ses valeurs dans . On la note : f:     Df   y  f ( x) x On appelle x l’antécédent de y par f. f(x) est l’image de x par la fonction f Df est l’ensemble

culture des bonsaïs. Il produit entre 0 et 200 arbustes par an. On note x le nombre d'arbustes produits en une année. Etant donnés le prix des pousses, les frais de fabrication et les subventions reçues, le coût total de fabrication ( en euro ) est donné par la formule : f ( x ) do n n é e e n P ar t i e I . 1. Pour combien d'arbustes produits le coût de production est – il minimal ? 2. Déterminer graphiquement le nombre de bonsaïs que le pépiniériste doit cultiver pour avoir un coût de production

cas ne pourra vous être demandée.) On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l. La fonction u a pour limite l en +∞ donc il existe un réel A tel que pour tout x ∈]A; +∞[ tous les nombres u(x) sont dans I. De même, pour la fonction v : On note B le réel tel que pour tout x ∈]B; +∞[ on a : v(x) ∈ I. On désigne par C le plus grand des nombres A et B. Alors pour tout x ∈]C; +∞[ on a : v(x) ∈ I et u(x) ∈ I. Or, on sait que u(x) ≤ f (x) ≤ v(x). Donc, nécessairement f (x) ∈ I Conclusion : f