Nombre réel

Limite d’une fonction en l’infini 1.1. Limite finie a) Définition • Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers +∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0, f(x) appartient à cet intervalle. • Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers −∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0, f(x) appartient à cet intervalle. b) Notations : • limx→+∞f(x)=L ou lim+∞f=L

et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par la lettre e. On convient de noter xe pour exp (x), pour tout x réel. II - Fonction logarithme népérien Théorème et définition La fonction exp réalise une bijection R de sur ]0, + ∞[. Sa bijection réciproque, fonction de ]0

Le nombre exp(1) étant noté e, la fonction exponentielle peut alors s’écrire sous la forme d’une puissance : [pic] Et grâce à cette notation, il devient simple de retenir ses propriétés algébriques, puisqu’elles sont les mêmes que celles d’une puissance : [pic] Quels que soient a et b réels : [pic] [pic] Il est également important de connaître une valeur approchée de La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [pic][ Cela signifie que pour tout réel y >0

d'une voiture est de 20 euros puis de 0,10 euro du kilomètre effectué. On peut alors compléter le tableau suivant : nombre de kilomètres parcourus 100 120 250 320 500 prix payé (euros) 30 32 45 52 70 Lorsque l'on parcourt x kilomètres, le prix y vaut : y = 0,10 x + 20 1. Défintion. Une fonction affine associe à tout nombre x le nombre ax + b où a et b sont deux nombres fixés. On la note f(x) = ax + b ou x a ax +b. On dit que f(x) est l’image de x par la fonction affine f. Cas particuliers

appartiennent à l’un ou à l’autre. On note : si x ∈ I ou x ∈ J alors x ∈ I ∪ J « ∀ » : se lit « pour tout » . exemple : « Pour tout nombre réel x » se note mathématiquement « ∀x ∈ « ∃ » : se lit « il existe au moins » . exemple : « Il existe au moins un nombre réel x » se note mathématiquement « ∃x ∈ « ! » se lit « un unique » . exemple : « Il existe un unique nombre réel x » se note mathématiquement « ∃! x ∈ ». ». » Remarque : Les symboles ∀, ∃ et ! sont appelés des quantificateurs . II. AVEC

fonction 7) est la fonction sinus, définie et continue sur . ( ) Rappel : Partie entière d’un réel et fonction partie entière La partie entière d’un nombre réel note ( ). Pour tout est l’unique entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal. On la , on a donc ( ) ( ) La fonction partie entière est la fonction définie sur fonction partie entière . qui, à tout réel , associe sa partie entière ( ). La est donc ainsi définie : ( ) Fonction continue sur un intervalle

Introduction 1.3 – Notion de fonction Définition 1 Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre x, un unique autre nombre appelé image. Si on appelle f cette fonction, l’image de x par f sera notée x → f (x) ou f (x). Exemple : x → x2 est une fonction f et f (x) = x2 est l’image de x par f . Contre-exemple : la correspondance qui a tout nombre positif fait correspondre les nombres dont il est le carré n’est pas une fonction (il n’y a pas unicité de l’image). Par exemple, 4 est le carré

. . . . . . . . 6 Barycentres 35 1/ Barycentre de deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2/ Barycentre de trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3/ Barycentre d’un nombre quelconque de points . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Produit scalaire 1/ Définition . . . . . . . . . . . 2/ Autres expressions du produit 3/ Règles de calcul . . . . . . . . 4/ Vecteurs orthogonaux . . . . 8 Applications du 1/ Équations

pourra vous être demandée.) On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l. La fonction u a pour limite l en +1 donc il existe un réel A tel que pour tout x 2]A; +1[ tous les nombres u(x) sont dans I. De même, pour la fonction v : On note B le réel tel que pour tout x 2]B; +1[ on a : v(x) 2 I. On désigne par C le plus grand des nombres A et B. Alors pour tout x 2]C; +1[ on a : v(x) 2 I et u(x) 2 I. Or, on sait que u(x)  f (x)  v(x). Donc, nécessairement f (x) 2 I Conclusion

Les fonctions – fonctions de références I Les fonctions ; quelques notions On peut dire qu’une fonction est une façon de relier un nombre réel x a un autre nombre réel y [qu’on écrit f (x ) ] exemples Définition Antécédent/ Image Ecrire que b =f (a) signifie que • b est l’image de a par la fonction f. • a est un antécédent de b par la fonction f. Variation La fonction f est croissante sur l’intervalle [a ; b ] lorsque pour tous les réels x1 et x 2 de l’intervalle [a ; b ] tels que x1