Nombre réel

fonction f à droite en 0. b) Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. 3. On note f  la fonction dérivée de la fonction f. a) Calculer f ( x) et montrer que pour tout réel x de l’intervalle 0,  , on a : f ( x)  b) c) d) e) En déduire le tableau de variations de f. Déterminer le signe de f ( x) pour tout réel x supérieur ou égal à e. Montrer que la droite ‫ 5 − ݔ2 = ݕ :ܦ‬est une asymptote à Cf   Tracer la courbe représentative de f dans  O,i , j  4. Soit h la fonction

|Mardi 7 décembre 2004 | Exercice 1 COURS (1+2.5+0.5=4 points) 1. Donner la définition du nombre dérivé et son interprétation graphique. 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par f(x) = + 1 En utilisant la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). 3. Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice

souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel. La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle de variable aléatoire (notée également v.a.). Ainsi le temps de désintégration d’un atome radioactif, le pourcentage de réponses « oui » à une question posée dans un sondage ou le nombre d’enfants d’un couple sont des exemples de variables aléatoires. Remarque : On se limitera ici au cas des variables aléatoires réelles (les entiers faisant bien

≥ f ( x 0 ), alors on dit que f ( x 0 ) est le minimum de f sur I. ̈ Exemple Soit f définie sur R par : f ( x ) = ( x − 2)2 − 2 . Pour tout réel x, on a : f ( x ) = ( x − 2)2 − 2 ≥ −2 = f (2) alors f (2) = −2 est le minimum de f sur R . 2. Parité Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport au nombre 0. ̈ ̈ Si pour tout x de I, f ( − x ) = f ( x ) alors f est paire. ̈ Si pour tout x de I, f ( − x ) = −f ( x ) alors f est impaire.

appelle médiane tout réel me tel que : au moins 50% des termes de la série ont une valeur inférieure ou égale à me et au moins 50% des termes de la série ont une valeur supérieure ou égale à me On prouvera, ci-dessous (théorème 1), qu'un tel réel existe toujours ! Remarque : la médiane partage l'ensemble des termes en deux sous ensembles de même effectif. (Enfin presque !) Exemples : Pour l'élève A (N = 8) : me = x4 = 9 (x5 = 10 conviendrait également ou, plus généralement, tout réel de [9 ; 10]) Pour

fonction traduit la dépendance entre deux nombres. A- Définitions Une fonction f permet d'associer à tout nombre x d'un ensemble D un nombre unique y. L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f. Le nombre x est une variable qui parcourt cet ensemble. Le nombre y est l'image de x. Il est important de noter que tout élément de l'ensemble de définition a une image et que celleci est unique. 1. Calcul de l'image d'un nombre L'image d'un nombre x par une fonction f se note f (x);

Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. 1. Pour tout réel a non nul, le nombre réel e− a est égal à : a. −e a 1 1 b. 1 e 1 a a c. 1 ea d. ea 2. Pour tout réel a, le nombre réel e 2 est égal à : a. ea b. ea 2 c. ea e2 d. e a 3. Pour tout réel x < 0, le nombre réel ln − a. ln(x) b. − ln(−x) 1 est égal à : x c. − ln(x) d. 1 ln(−x) 4. On donne la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

essayer avec la définition d’une limite). 2. Assertion Une assertion est un assemblage cohérent de symboles mathématiques (ou de mots) auquel on peut attacher une valeur de vérité : vrai ou faux. 3+2=5 π est un nombre irrationnel 1 3 = 0,33 sont des assertions vraies 8 est un nombre premier x>2 Les matrices A et B commutent. sont des assertions fausses En toute généralité, ces assemblages ne sont pas des assertions car nous ne pouvons pas leur attribuer une valeur de vérité. En mathématique

carré. 1) Définition : c'est la fonction f définie sur ℝ ( nombres réels ) par f(x) = x² 2) Représentation : Tableau des valeurs x | -2 | -1 | -0,5 | 0 | f x | (-2)²=4 | 1 | 0,25 | 0 | Sa courbe représentative est appelé une parabole de sommet O ( l'origine du repère ) et admet l'axe des ordonnée comme l'axe de symétrie. 3) Signe : x | -∞ 0 +∞ | Pour tout réel x² ≥  0 un carré est toujours positif. | f( x) = x²

associé au cercle trigonométrique c de centre O. La droite d, i j tangente à c en A et munie du repère (A , ) représente l'ensemble des nombres réels. j définition : Pour un réel t repéré sur la droite d, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle c par "enroulement" de la droite d sur le cercle. On dit que M est le point image sur le cercle du réel t . Exemples : π repère le point B. Donner d'autres réels permettant de repérer B : – 3π ; 5π 2 2 2 π . Le milieu C de l'arc AB ' est repéré