Orthogonalité

Nom :……………………………………… MATHEMATIQUES Contrôle N°7 Exercice 1 (11 points) On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction f. 1. Donner le domaine de définition de f. 2. Déterminer graphiquement l’image de 5 par la fonction f. Donner f (– 4). 3. Déterminer s’ils existent, les antécédents de 2 par la fonction f. Déterminer s’ils existent, les antécédents de – 2 par la fonction f. 4. Sans donner de justification : Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 3,5, puis résoudre l’inéquation f(x)

´ Partie I. Etude de quelques exemples I.A.1. a) si (x, y) sont li´s, on peut supposer y = λx avec λ = 0. On compl`te (x) en (x, x 2, . . . , xn) base e e de V . L’endomorphisme dont la matrice associ´e dans cette base est : e  λ  ... 0 . . 1 . . .. . . . ... ... 1 3, . . . , n) 0  0 A=. . . 0 est inversible et convient. b) si la famille (x, y) est libre, on la compl`te en (x, y, e f(x) = y, f(y) = x, et pour tout 3 ≤ k ≤ n, f( k ) = k . est :  0 1 0 ... 1 0 0 ...  A = 0 0

Produit scalaire 1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel. [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic] Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic]

Œuvres littéraires pour le français :       L’Avare   de  Molière  Editeur : Garnier‐Flammarion          L’Argent      de      Zola  Editeur : Garnier‐Flammarion      ANGLAIS                                           Aux futurs étudiants de la Spé‐ATS  Tout d’abord, je vous félicite pour votre choix, votre ambition, et me réjouis de faire plus amplement connaissance avec vous début Septembre. L’année sera courte ; je vous suggère donc de préparer la rentrée pendant les congés d’été. QUE FAIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2011 Série S Durée de l’épreuve : 4 heures ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. O Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse

´ ´ ´ ´ Resume du Cours d’Econometrie Yves Till´ e 16 d´cembre 2008 e Avertissement ´ Ce document n’est pas un compte rendu exhaustif du cours d’Econom´trie, mais un r´sum´. Il reprend e e e les principaux d´veloppements, mais il est compl´t´ au cours par de nombreux graphiques, commentaires, et e ee approfondissements. Nous remercions J´rˆme Taillard pour la pr´paration de plusieurs exercices, Guido Pult e o e pour nous avoir donn´ plusieurs exercices et Ines Pasini pour son aide ` la dactylographie

SESSION 2006 EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES

Soit (x,z) les coordonnées d'un point M dans le repère et (X,Z) les coordonnées du même point dans le repère En exprimant les vecteurs du nouveau repère en fonction des vecteurs du premier repère, on a : On a donc . On en déduit En remplaçant x et z par ces expressions dans l'équation de la section S, on obtient : soit en développant les carrés et en réduisant On reconnaît l'équation d'une hyperbole. 1) - M(x;y;z) est un point de T donc x²+y²=z² - M(x;y;z) est

II - DEVELOPPEMENT   A. 1. et CB = 1 donc CD2 - CB2 = 1 : C ID2 = AD2 + AI2 = 1+1/2 = 3/2 IB = 1/2 donc ID2 - IB2 = 1 : I 2. a. Considérons le repère défini par le point A et les axes (AB) et (AD.) Soit M un point de coordonnées (x, y) dans ce repère. D a pour coordonnées (0,1) B a pour coordonnées (,0) donc MD2 - MB2 = - 2y +2 x - 1 d'où : b. a pour coordonnées (-, 1) a pour coordonnées . .= 0 donc les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires. B. 1. On a D d'affixe i

Calcul  de  valeurs     et  vecteurs  propres   E.  Calzavarini       Polytech’Lille  CM3   Définiton  du  problème   Calcul  mathéma8que  des  valeurs  propres   Pra8cable  pour  une  grande  matrice?   Quelque  propriété  des  valeurs  propres   La  diagonalisa:on  préserve  la  trace  et  le  déterminant   La  méthode  de  la  puissance  itérée