Parabole

Dresser, en justifiant, le tableau des variations de la fonction f. f est un polynôme du second degré. Sa représentation graphique est donc une parabole.C’est la forme canonique de f(x).a = -1 ; α = 1 et β = 9a < 0 donc les branches de la parabole sont tournées vers le bas.α = 1 et β = 9 donc les coordonnées su sommet sont (1 ; 9)D’où le tableau des variations de la fonction f : x | 1 | f(x) | 9 | |

4x + 3 Ü Ö ¿ 0 Résoudre dans R l’équation : 3x 4 − 3x 2 − 18 = 0. Quel est l’ensemble de définition de f (x) = x 2 + 3x + 2 ? Ü Ö Ü Ö f est la fonction définie sur R par f (x) = ax 2 + bx + c dont la représentation graphique f est la parabole représentée ci-contre. 1. Le réel a est-il positif ? Pourquoi ? 2. Quel est le signe du discriminant ? 3. Déterminer les réels b et c sachant que 3 a =− . 5  O ı f 1 Année scolaire 2010-2011 DS no 1 Année scolaire 2010-2011 −b +

variation de f2 : x f2(x) 4 –∞ +∞ 1 +∞ +∞ Pour g : a = – 1, donc a < 0 x g(x) –6 –6 0 2,5 0,25 5 Tableau de variation de f3 : x f3(x) –∞ –1 –3 +∞ • On dresse un tableau de valeurs de f et de g à l’aide de la calculatrice, puis on trace leurs paraboles représentatives. x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 f(x) 1 – 2,25 –5 – 7,25 –9 – 10,25 – 11 – 11,25 – 11 – 10,25 –9 g(x) –6 – 3,75 –2 – 0,75 0 0,25 0 – 0,75 –2 – 3,75 –6 –∞ –∞ 1 3 –∞ +∞ Tableau de variation de f4 : x f4(x) –∞ –∞

équation sont les abscisses des points d'intersection : de la parabole d'équation P d’équation y = a x2 et de la droite D d’équation y = - b x – c Résolution graphique d'une équation du second degré Cas 1 : (figure I page 3) La droite (D) coupe la parabole (P) en deux points A et B. Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d'intersection. Exemple Résoudre graphiquement x2 + x ‑ 6 = 0. Pour cela : 1. On trace une parabole (P) d'équation y = x2. 2. On trace une droite (D) d'équation

Donner alors un encadrement de la vitesse moyenne sur le parcours. Exercice 3 (3,5 points) Soit f définie sur par f ( x ) = 2x 2 + 4x + 6 . Résoudre dans l’équation f (x) = 6. En déduire l’axe de symétrie de la parabole représentant f. Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole. Ecrire f (x) sous la forme a ( x – α ) 2 + β . Dresser alors le tableau de variations de f sur . Devoir 02-MA15-10 9 Exercice 4 (2,5 points) Vrai ou faux ? Justifier. a) Si x ≤ 3 alors x 3 ≤ 27 . b)

d’équations et d’inéquations du second degré, le dernier paragraphe reprend ce qui a été vu en Seconde : la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré fournit les coordonnées du sommet de la parabole représentant cette fonction, le coefficient indique dans quel sens est tournée la parabole. La forme canonique permet ainsi de dresser le tableau de variation d’une fonction du second degré. C’est pour cette raison qu’il nous a semblé inutile de proposer dans ce chapitre des démonstrations

la conique �� est l’ensemble des points �� (��, ��) vérifiant l’équation 1 − �� 2 �� 2 + �� 2 − 2������ − ��2 = 0 4) On considère la parabole �� de foyer �� et de directrice ��. Quel est le sommet �� de la parabole �� ? Donner l’équation de �� dans le repère ��, ��, �� . 5) Application : Dans un repère orthonormé (��, ��, ��), donner l’équation de la parabole de foyer �� = (−2,1) et de directrice �� d’équation : �� = 4. Correction : A) Transformée de Fourier 1) On note �� ∶ �� ⟼ ��(�� − ��) .

définie pour tout réel x par f (x) = Sa courbe représentative est la parabole (P) tracée ci-dessous dans le plan muni d’un repère orthogonal. y 28 24 20 16 12 8 4 (P) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -4 1 2 3 4 5 6 x 1. Calculer les images des réels : −10−3 , 2. 3. 4. 5. 6. √ 3 et 2 − 3. 2 Quels sont les antécédents éventuels de 20 ? Le point A (3,6; 13) appartient-il à la parabole (P) ? Soit a un réel tel que : −3 a 2. Déterminer un encadrement de a2

discriminant de cette conique vaut 0 : elle est du genre parabole. On élimine les termes en xy par rotation du repère. On fait une rotation d’angle θ tel que tan(2θ) = √ b = 3 a−c √ soit une rotation d’angle π/6. On obtient alors x = y = 1 2 (X 1 2 (X 3−Y) √ + Y 3). En remplaçant dans l’équation on obtient, après simplifications, Y 2 − 6X + 2Y + 13 = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ (Y + 1)2 − 1 − 6X + 13 = 0 (Y + 1)2 = 6(X − 2). On obtient une parabole de sommet ayant pour coordonnées (2, −1) dans le nouveau

− 6 = 0 2x2 + 7x = −6 x2 + 2x − 3 2 x + 5x 2 2x − 13x + 7 1/2 0 14 0 Devoir maison de math´ematiques n◦ 1 Exercice 5 – Donner les coordonn´ees du sommet de la parabole d’´equation y = 2x2 − 4x + 9. – D´eterminer l’´equation de la parabole de sommet S(1; 3) passant par le point M (2; 5). – D´eterminer une ´equation de la parabole passant par les points A(−5; 0), B(3; 0) et C(1; −24). Exercice 6* R´esoudre les in´equations suivantes : x2 − 2x + 3 x2 + x − 2 x−1 2x 0 > x+5 2−x Exercice 7* On