Parabole

Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré Dans un repère (O ; r r i j , ), notons C la courbe d'équation y = ¦(x) = ax 2 + bx + c. Théorème 5 La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Elle est tournée vers le haut si a > 0, tournée vers le bas si a < 0. Son axe de symétrie est la droite verticale d'équation : x = – b 2a . Son sommet S a pour coordonnées : S ; 2 4 b a a æ ö D ç ÷ - - è ø Démonstration : Procédons

s'appellent des paraboles comme la courbe de f(x) = x². Selon les valeurs de a, b et c, la parabole sera décalée et déformée. 2) Position du sommet 2 −b et à l'ordonnée f (α)=− b – 4 a c . Le sommet de la parabole correspond à l'abscisse α= 4a 2a Vérifiez cette valeur en remplaçant x par α dans la forme canonique du trinôme. 3) Orientation et forme Selon le signe de a, la parabole ses branches vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0). Selon la valeur absolue de a, la parabole sera plus

de a) factoriser f .En déduire une résolution du 1). réponse : 1) on utilise delta = b²-4ac=4²-4x5x(-1)=16 + 20 = 36>0 donc 2 solutions x1 et x2 , qui sont -1 et 0,2 2)a)forme canonique : 5(x+0,4)²-1,8 b)la courbe c de la fonction f est une parabole d'axe de symétrie d'équation x=-0,4 et de sommet s (-0,4;-1,8) c)on utilise la formule 5(x+0,4)² pour calculer les valeurs de -7 à 5. d)on verifie les 2 solutions du 1) sur le graphique et on les fait apparaitre . e)forme factorisé de f :5(x+0

d'une fonction du second degré est une parabole qui admet comme axe de symétrie la droite d'équation . La réciproque est en partie vraie : quelle que soit une parabole donnée, il est possible de choisir un repère orthonormé du plan pour lequel il existe une fonction du second degré dont la parabole est le graphe. Les variations et la forme de la parabole présentent deux cas, suivant le signe du coefficient de second degré a. Si a est positif. La parabole admet un minimum ; la fonction est décroissante

: Résoudre les (in)équations suivantes : x2 + x − 6 = 0 2x2 + 7x = −6 x2 + 2x − 3 ≥ 0 x2 + 5x ≤ 14 2x2 − 13x + 7 ≤ 0 EXERCICE 5 : Donner les coordonnées du sommet de la parabole d’équation y = 2x2 − 4x + 9. Déterminer l’équation de la parabole de sommet S(1 ; 3) passant par le point M(2 ; 5). Déterminer une équation de la parabole passant par les points A(-5 ; 0), B(3 ; 0) et C(1 ;-24). 1 EXERCICE 6 : Résoudre les inéquations suivantes : x2 − 2x + 3 ≥0 x2 + x − 2 x−1 x+5 > 2x 2−x EXERCICE

que c'est faux à l'aide de l'interprétation graphique. ∆< 0 signifie que la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, a > 0 signifie que la parabole est tournée vers le haut et donc qu'elle est située entièrement en-dessus donc elle va couper l'axe des ordonnées en un point dont l'ordonnée est positive donc c doit être positif. b) Si ∆< 0 et c > 0 alors pour tout x réel, f (x) > 0 . Vrai : ∆< 0 signifie que la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, elle est, soit entièrement endessous soit entièrement

que c'est faux à l'aide de l'interprétation graphique. ∆< 0 signifie que la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, a > 0 signifie que la parabole est tournée vers le haut et donc qu'elle est située entièrement en-dessus donc elle va couper l'axe des ordonnées en un point dont l'ordonnée est positive donc c doit être positif. b) Si ∆< 0 et c > 0 alors pour tout x réel, f (x) > 0 . Vrai : ∆< 0 signifie que la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, elle est, soit entièrement endessous soit entièrement

variations de f Tracer avec beaucoup de soin, sur papier millimétré, la parabole (P1) qui représente f. Résoudre graphiquement puis par le calcul les équations suivantes : Résoudre graphiquement puis par le calcul l’inéquation f(x)≥0 _(on fera apparaître sur le dessin toutes les constructions indispensables à la compréhension)_ a) Déterminer une équation de la parabole ( P2) qui passe par A(1,0), B(5 ;0) et Tracer avec soin ( P2) dans le

La fonction quadratique La fonction quadratique est une fonction f définie par une relation de la forme f (x) = ax ² où le paramètre a ≠ 0. Le graphique de celle fonction en forme de parabole peut être représenté dans un plan cartésien.La fonction quadratique est en réalité une fonction polynomiale du second degré définie par une règle dont tous les coefficients des termes de degré inférieur à 2 sont nuls. L'équation de base est la suivantey=ax2  ou    y=a(bx)2Cette fiche traite de la fonction

représentation graphique de f dans un repère orthogonal est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées ( [pic], [pic]) et dont l’axe de symétrie a pour équation x = [pic]. Si a > 0, la parabole est tournée dans le sens des y positifs ; si a < 0, la parabole est tournée dans le sens des y négatifs . Démonstration On sait que f (x ) = [pic] =[pic] . Dans un repère orthogonal [pic], la courbe représentant f est donc la translatée la parabole représentant la fonction [pic] du vecteur [pic]. - La